1.4. Различные формы записи комплексного числа

Определение. Запись комплексного числа в виде называется алгебраической формой числа.

С помощью модуля и аргумента комплексное число можно представить в других формах.

Если x и y – декартовы координаты точки плоскости, то, переходя на плоскости к полярным координатам (r, φ) и воспользовавшись связью декартовых и полярных координат

,

всякое комплексное число можно представить в виде

.

Такая форма записи комплексного числа называется тригонометрической формой числа, где , .

Теорема. Любое ненулевое комплексное число обладает единственной в существенном совпадении тригонометрической формой.

Доказательство.

Существование. Пусть . Обозначим , тогда , и .

Единственность. Пусть ненулевое число z обладает тригонометрическими формами

, , , .

Имеем .

Приравнивая действительную и мнимую части этого равенства, получим

Следовательно,

.

Таким образом, два комплексных числа, заданных в тригонометрической форме равны тогда и только тогда, когда их модули равны, а аргументы отличаются на величину, кратную 2p. ■

Пример. Даны два комплексных числа и , заданных алгебраически. Перевести их в тригонометрическую форму.

Решение.

1) Определим модуль и величину аргумента комплексного числа:

, .

Таким образом, .

2) Определим модуль и величину аргумента комплексного числа:

, .

Таким образом, .

Используя формулу Эйлера, связывающую тригонометрическую и показательную функции:

,

всякое комплексное число z можно представить в следующем виде .

Такая форма записи комплексного числа называется показательной формой числа.

В силу формулы Эйлера, функция является периодической с основным периодом 2p.

Имея формулу Эйлера, запишем следующие формулы:

и

и

.

1.5. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

Если два комплексных числа представлены в алгебраической форме

и ,

то действия над комплексными числами определяются следующим образом.

Алгебраическая сумма.

Определение. Алгебраической суммой двух комплексных чисел

и

называется комплексное число z, определяемое соотношением

,

т.е. и .

В частности,

;

Для операции сложения справедливы свойства:

1. z₁+z₂ = z₂+z₁ – коммутативность;

2. (z₁+z₂)+z₃ = z₁+(z₂+z₃) –ассоциативность.

Произведение.

Определение. Произведением двух комплексных чисел

z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂

называется комплексное число z, определяемое соотношением

,

т.е. и

В частности,

, причем .

Для операции умножения справедливы свойства:

1. z₁·z₂ = z₂·z₁– коммутативность;

2. (z₁·z₂)z₃ = z₁(z₂·z₃) –ассоциативность;

3. (z₁ + z₂)z₃ = z₁·z₃ + z₂·z₃. – дистрибутивность.

Деление.

Определение. Частным двух комплексных чисел и называется комплексное число z, определяемое соотношением

(для нахождения частного комплексных чисел домножаем числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю: ).

В частности,

.

Свойства комплексного сопряжения.

1. 

Действительно,

2. 

Действительно,

3. ;

Обозначим . Тогда , , .

Возведение в целую степень.

При возведении комплексного числа z в степень n, пользуются формулой бинома Ньютона:

В правой части равенства заменяют степени мнимой единицы по формулам:

, где k =0, 1, 2, …

и приводят подобные члены, в результате получают некоторое комплексное число z = x + iy.

Пример. Даны два комплексных числа z₁ = 2 – 3i, z₂ = 4 + 5i. Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Решение.

z₁ + z₂ = (2 − 3i) + (4 + 5i) = (2 + 4) + (-3 + 5)i = 6 + 2i;

z₁·z₂ = (2 − 3i)·(4 + 5i) = (2·4 + (-3)·5 i ²) + (2·5 +(-3)·4)i = 23 − 2i;

.

Пример. Возвести в указанную степень следующие комплексных числа: (3+4i)², (1+2i)³, (2+i)⁴.

Решение.

,

,

.