4. Математичне моделювання процесів масо- і тепловіддачі в газовій фазі насадочних колон

В хімічній технології для проведення масо- і теплообмінних процесів широке застосування знаходять насадочні колони різних конструкцій. Точність розрахунку режимних і конструктивних параметрів апаратів даного типу в значній мірі визначається достовірністю розрахунку коефіцієнтів масо- і тепловіддачі. Ці кінетичні характеристики залежать від режиму руху потоку, насадочних елементів і фізичних властивостей середовища. Через складність перебігу процесів знахождення коефіцієнтів масо- і тепловіддачі здійснюється, в основному, емпірічним шляхом. Для цього потрібно створення дорогих установок для проведення досліджень процесів переносу кожним типом насадочних елементів. В зв’язку з цим теоретичний шлях має переваги перед дослідним, оскільки він дозволяє скоротити термін і витрати на розрахунки масо- і теплообмінних процесів.

В межах єдиного підходу отримані рівняння, які дають можливість розрахувати коефіцієнти масо- і тепловіддачі в апаратах різних конструкцій, грунтуючись тільки на результатах дослідження контактних пристроїв. Математична модель процесів переносу в одно- чи двофазних середовищах залежить від гідродинамічних умов руху потоку і визначається характером затухання пульсації у в'язкому підшарку граничного шару.

Встановлено, що при Sс_Т Рr_Т 1 показник степеня функції залежить від співвідношень виду:

(231)

де а_Т...D_Т – коeфіцієнти турбулентного і а, D – молекулярного обміну теплом і масою, м²/с; и_р – динамічна швидкість, м/с; δ₁ - товщина в^’язкого підшарку, м; α, β – відповідно коефіцієнти тепловіддачі (Вт/м^{2 . 0}С) і масовіддачі (м/с); y – поперечна координата граничного шару; Sс_Т = v_Т/D^Т, Pr_Т = v_Т/а_Т – турбулентне число Шмідта і Прандля.

Процеси масо- і тепловіддачі в газовій фазі як в сухих, так і в зрошувальних насадочних колонах характеризуються залежностями виду α~a^2/3 і β~D^2/3, що відповідає значенню показника степеня функції (231) n=3. В цьому випадку коефіцієнти масо- і тепловіддачі можна розраховувати за рівнянням:

(232)

(233)

де L = (R₁Sc)^-1/3; N = (R₁Pr)^-1/3; Sc, Pr – числа Шмідта і Прандля; R₁ = U_P; δ₁/v – безрозмірна товщина в’язкого підшару; v – коефіцієнт кінематичної в’язкості, м²/с; с – питома теплоємність, Дж/(кг ^. К); p – густина середовища, кг/м³.

Розглянемо варіанти застосування рівнянь (232) і (233) для визначення коефіцієнтів масо- і тепловіддачі під час руху газу в шарі насадочних елементів при відсутності зрошення рідиною. Для цього розробимо методи розрахунку основних параметрів моделі – и_р і R_1.

Відомо, що турбулентний рух газу в насадці починається при Re_Г>40, де Re_Г = w_К d_Е/(V_В. v) – число Рейнольдса; W_К – швидкість газу в повному розрізі колони, м/с; d_Е – еквівалентний діаметр насадки, м; V_В – питомий вільний об’єм.

Відповідно до двошарової моделі турбулентного граничного шару Прандля, параметр R₁ 11,6 є істиним для плоского граничного шару без завихрення. Оскільки граничний шар на поверхні насадочних елементів характеризується кривизною поверхні і градієнтом тиску, R₁ може відрізнятися від значення даного параметру на пластині.

Для визначення безрозмірної товщини в’язкого підшарку в граничному шарі з різними завихреннями покажемо опір переносу імпульсу у вигляді:

(234)

де – коефіцієнт переносу імпульсу, м/с; – середня рушійна сила переносу імпульсу, м/с; τ – дотична напруга, Па.

При Sс_Т≈Рr_Т≈1 залежність для коефіцієнта турбулентної в’язкості v_Т(y) приймемо в формі (231). Тоді з виразу (234) отримаємо середнє значення:

(235)

де .

Динамічну швидкість в рівняннях (232), (233) та (235) знайдемо на основі формули: , в якій ε – дисипація енергії турбу-лентного потоку, Вт/м³. Підставляючи в дане співвідношення середнє значення коефіцієнта (231), отримаємо:

. (236)

Середнє значення дисипаційної енергії стабілізованого газового потоку в вільному об’ємі насадочної колони:

, (237)

де Н – висота шару насадки, м; ∆Р_СУХ. – перепад тиску для сухої насадки, що знаходиться за рівнянням:

(238)

Для коефіцієнту гідравлічного тиску ξ_Г використовують емпіричні вирази.

В шарі насадочних елементів швидкість газового потоку через звуження і розширення прохідного перерізу каналів змінюється. Вона змінюється в межах від середньої швидкості в вільному перерізі колони до максимального значення в самому вузькому прохідному перерізі. Враховуючи, що на поверхні сухих насадочних елементів швидкість газу рівна нулю, тоді середня рушійна сила переносу імпульсу у виразі (235) буде визначатися середньою швидкістю на зовнішній границі граничного шару і вздовж осі потоку:

(239)

де при =0⁰ u_∞≈W_{К ,} а при u_∞≈W_мах.

Максимальну швидкість газу вздовж каналу знайдемо з рівняння:

(240)

де W_CР. – середня швидкість газу в перерізі каналу, м/с.

В результаті зазначеного перетворення з виразу (239) та (240) отримаємо:

(241)

де відносний мінімальний прохідний переріз в шарі насадки:

Рівняння (232) з параметрами (235) і (236) було перевірене шляхом розрахунку коефіцієнта масовіддачі в сухій насадці з кілець Рашига, виготовлених з нафталіну (рис. 73). Коефіцієнт тепловіддачі (233) був розрахований для колони заповненої металевими циліндрами і капроновими паралелепіпедами під час руху нагрітого повітря (рис. 74). Кореляція з дослідними даними знаходиться в межах похибки експерименту.

Рис. 73. Залежність комплексу Sh/Sc^1/3 від числа Рейнольдса при випаровуванні нафталіну з поверхні пористих тіл в насадочній колоні, що отримана в результаті розрахунку за рівнянням (232) і за експериментальними даними

Основні параметри математичної моделі були знайдені, розв’язуючи системи рівнянь (235) і (236). Для виключення ітераційних циклів були виконані перетворення рівнянь (232) і (233).

Підставивши в рівняння (232) динамічну швидкість (236), отримаємо:

(242)

де

Рис. 74. Залежність числа Нуссельта від числа Рейнольдса

під час руху нагрітого повітря на насадочній колоні, що отримана в результаті розрахунку за рівнянням (233) і за експериментальними даними

Знаменник виразу (242) b=R₁ ^5/12[k₁+k₂+π] є функцією b=f(R₁,Sc). В результаті розрахунків для насадочних колон різноманітних конструкцій встановлено, що її значення несуттєво залежить від параметрів R₁ i Sc і складає b≈40 при Re_Г = 102-104 i Sc = 0,5-3. Тоді рівняння (242) отримає вигляд:

(243)

Аналогічно запишемо:

(244)

Результати розрахунку чисел Шервуда Sh=βd_E/D і Нуссельта Nu = αd_Е/(apc_P), які отримані з співвідношень (243) і (244), наведені в таблицях 17 та 18.

В насадочній колоні, яка зрошується, вільний об’єм зменшується на величину затримки рідини v_Р. На поверхні розділу фаз в результаті тертя газу і рідини виникають дотичні напруги. Це приводить до збільшення гідравлічного опору порівняно з сухою насадкою при однаковій швидкості газу W_К. Дисипація енергії в цьому випадку буде складатись з суми енергії, дисипуючої в об’ємі змоченою рідиною ε_A-D насадки, і енергії, дисипуючої в результаті тертя і опору незмоченої насадки.

Таблиця 17

Результати розрахунку числа Шервуда в колоні з кільцями Рашига

№ з/п	Rer	Sh/Sc-1/3 за рівнянням (243)	Sh/Sc-1/3 за рівнянням Гільден-блата	Розходження за рівнянням (243), %	Sh/Sc-1/3 за рівнянням Аерова	Розходження за рівнянням (243), %
1	100	7,39	8,31	-11,0	7,47	-1,0
2	250	14,04	15,14	-7,0	13,35	5,0
3	500	22,81	23,84	-4,0	20,81	9,0
4	1000	37,05	37,54	-2,0	32,43	14,0
5	2500	70,36	68,43	3,0	до 2.103
6	5000	114,31	107,75	6,0	-	-
7	10000	185,70	169,67	9,0	-	-

Таблиця 18

Результати розрахунку числа Нуссельта в колоні з металевими циліндрами з капроновими гранулами

№ з/п	Rer	Nu/Pr-1/3 за рівнянням (244)	Nu/Pr-1/3 за формулою роботи	Розход- ження, %
1	200	10,37	9,95	4,0
2	500	19,47	18,91	3,0
3	1000	31,36	30,71	2,0
4	2500	58,88	58,33	1,0
5	5000	94,83	94,77	-
6	7000	119,51	119,9	-1,0

Для розрахунку коефіцієнту масовіддачі (232) в газовій фазі зрошувальної колони необхідно визначити параметри граничного шару u_Р і R₁ на міжфазній поверхні „газ-рідина”.

Динамічну швидкість знайдемо за рівнянням (236) зі значенням дисипуючої енергії:

(245)

де v_Р – затримка рідини в насадці, м³/м³; ∆Р_Г-Р – складова перепаду тиску в зрошувальній насадці ∆Р_ЗР., яка обумовлена рідиною, що стікає, Па.

Якщо вся поверхня насадочних елементів зволожена рідиною, то ∆Р_Г-Р = ∆Р_ЗР.. У випадку коефіцієнта поверхні ψ_W<1, що має місце при плівковому режимі роботи, запишемо:

Середня рушійна сила переносу імпульсу в формулі (235) буде мати більше значення, ніж в сухій насадці внаслідок звуження каналів рідиною, яка стікає. Крім цього, неообхідно враховувати швидкість рідкої фази у вигляді де – середня швидкість газу вздовж осі потоку, м/с; – середня швидкість руху рідини на поверхні розділу.

Розрахунки коефіцієнта масовіддачі (242) в газовій фазі при плівковому режимі роботи насадочних колон показують, що функція знаходиться в межах b = 30-90. Тоді при збільшенні витрати рідини значення параметрів b зростає, що пов’зане зі збільшенням швидкості газу за рахунок зменшення прохідного перерізу каналів. Результати розрахунку добре апроксимуються залежністю b = 538,9q^0,4, де q – питома витрата рідини, м³/(м^{2 .} с). Тоді середній коефіцієнт масовіддачі (242) можна представити у вигляді:

(246)

Звідси об’ємний коефіцієнт масовіддачі:

(247)

де a_V – питома поверхня насадки, м²/м³; ψ_А – коефіцієнт активної поверхні масопередачі.

Результати розрахунку об’ємного коефіцієнта масовіддачі (247) представлені на рис. 75. Було проведене порівняння з емпіричною залежністю:

, (248)

де W_Г , W_Р – питома витрата газу і рідини, кг/(м^{2 .} год). Витрата рідини в колоні складає 10 м³/(м^{2 .} год).

(βα)_r 10³, 1/4

Рис. 75. Результати розрахунку об’ємного коефіцієнта

масовіддачі в насадочній колоні з кільцями Рашига діаметром 25 мм при абсорбції амоніаку водою, які отримані за емпіричними виразами Дотерті (крива 1), Двайра і Доджі (крива 2), Бордена (крива 3), а також за рівнянням (247) (крива 4)

Були отримані дослідні коефіцієнти масовіддачі, віднесені до змоченої поверхні насадки. Оскільки в більшості випадків ψ_W>ψ_A, тоді для порівняння з експериментальними даними запишемо , де – коефіцієнт масовіддачі, віднесений до змоченої поверхні насадки, м/с. Результати розрахунку числа Шервуда для сідел Берля наведені на рис. 76, де – число Галілея.

Рівняння (247) було перевірене при плівковому режимі роботи колони з кільцями Рашига і сідлами Берля з номінальними розмірами 15-35 мм, Re_Г = (2-20) ^. 10² і q = (2,0-9,0) ^. 10^-3. Кореляція з емпіричними результатами знаходиться в межах похибки експериментальних досліджень.

Рис. 76. Залежність числа Шервурда від числа Рейнольдса, яка отримана в результаті розрахунку за рівнянням (247) і за експериментальними даними

Розроблену математичну модель можна рекомендувати для розрахунку коефіцієнтів масо- і тепловіддачі в сухих і зрошувальних насадочних колонах, використовуючи тільки результати гідравлічного дослідження.