2. Рівняння гідродинаміки рідких і газоподібних середовищ

Потоки речовини можуть бути однофазними (рідина, газ) або багатофазними (паро-рідинна емульсія).

Рух однофазного потоку описується системою, що складається з рівняння матеріального бала­нсу в об'ємі dV (рівняння нерозривності потоку) і рівнянь руху (рівнянь Нав'є-Стокса). Крім цих рівнянь, повинні бути відомі граничні і початкові умови.

Для нескінченно малого об'єму dV в рухомому потоці рівняння матеріального балансу має вигляд:

(18)

де dm – приріст маси речовини у виділеному об'ємі за час dt; ρ – густина речовини.

Виразивши величину dm як різницю (за проміжок часу dt) надходження і витрати речовини через поверхню, що обмежує об'єм, отримаємо рівняння матеріального балансу, записане для три­вимірного простору з координатами х, у, z тобто рівняння (1а), наведене в табл. 3 (υ_х, υ_y, υ_z – проекції лінійної швидкості потоку на відповідні осі координат).

Для випадку нестиснутої рідини і сталого процесу руху в часі рівняння (1, а) перетворюється в більш просте рівняння (1, б) з таблиці 3.

Рівняння Нав'є-Стокса можна вивести з другого закону Ньютона:

(19)

де S_ni – проекція діючої сили на вісь i; m – маса речовини у виділеному об'ємі; d _i/dt повна похідна складової швидкості в напрямку i.

При русі в'язкої рідини в напрямку осі х в полі сил тяжіння на виділений об'єм діють сили гра­вітації (S_ГР), тиску (S_P) і тертя (S_ТР).

Виразивши проекції цих сил на вісь х через фізичні характеристики речовини, що рухається, отримаємо ліву частину рівняння (2, б), наведеного в табл. 3 (g_X – проекція гравітаційного приско­рення на вісь х; Р – тиск; μ – динамічний коефіцієнт в'язкості).

Повна похідна швидкості руху в напрямку х має вигляд:

(20)

Таблиця 3

Рівняння гідродинаміки однофазних потоків

Но-мер рів- нянь	Найменування рівнянь	Рівняння
1	2	3
1	Рівняння нерозривності потоку: а) для нестаціонар-ного потоку стисненої рідини б) для стаціонарного потоку нестисненої рідини
2	Рівняння Нав’є- Стокса при русі нестисненої рідини в напрямку осі х: а) загальне рівняння балансу сил б) його вираз через характерні фізичні величини

продовження табл. 3

1	2	3
3	Загальний вираз для інтеграла рівняння Нав’є-Стокса при вставленому русі однофазного потоку: а) для загального випадку б) для випадку змушеного руху
4	Рівняння Дарсі - Вейсбаха
5	Рівняння розрахунку втрат тиску при русі по трубах з місцеви-ми гідравлічними опорами ( – номер ділянки з постійним опором)

де величина відображає локальну зміна швидкості у фіксованій точці, а інші доданки враховують зміни швидкості в напрямках осей x, y, z. Добуток – проекція локальної складової інерційних сил , a – проекція конвективної складової інерційних сил на вісь х.

Виразивши проекції сил на осі у та z через фізичні характеристики речовини, отримаємо анало­гічні (2, б) рівняння, які разом складають систему рівнянь Нав’є-Стокса.

Отримана система рівнянь гідродинаміки потоку не має аналітичного розв'язку. В інженер­ній практиці для опису руху рідини (газу) використовуються експериментальні дані, які фактично є розв'язками цієї системи рівнянь для конкретних випадків.

Для узагальнення експериментальних даних і визначення допустимої області їх викори­стання широко застосовують висновки теорії подібності. Такі методи узагальнення виявилися придатними при вивченні не тільки процесів гідродинаміки, але й процесів тепло- і масопередачі.

За допомогою теорії подібності вирішуються такі задачі: 1) вибору узагальнених змінних (критеріїв подібності, симплексів подібності геометрії системи, початкових і граничних умов), що є аргумен­тами розв'язку системи диференціальних рівнянь, що описують відповідні процеси (гідродина­міки, тепло- і масообміну); 2) знаходження умов подібності двох однорідних процесів.

Розв'язок системи рівнянь, що описують досліджуваний процес гідродинаміки (або тепло-масовіддачі), є деякою функцією параметрів і змінних:

(21)

де g – визначальне прискорення в даній системі (в конкретному випадку – прискорення вільного падіння).

Розвиток процесу визначається в загальному випадку не значенням кожного окремого параме­тра, а їх співвідношенням, тобто відношенням величин сил, мас, потоків тощо. Парні відношен­ня π₁, π₂, π₃,... таких параметрів є істотними характерис-тиками процесу і є узагальненими змінними розв'язку системи диференціальних рівнянь, тобто функція (21) у цьому випадку може бути записана так:

(22)

де b₁, b₂, ... – параметри, що враховують вплив геометрії системи, початкових і граничних умов. Змінні π₁, π₂, π₃,... називаються критеріями подібності.

Вибір числового значення критерію дозволяє виділити групу однорідних фізичних процесів з різними величинами параметрів (густини, в'язкості, швидкості тощо), але з однаковим розвитком явищ, тобто подібних між собою.

Для подібних процесів узагальнені змінні π₁, π₂, π₃,... однакові. Ця умова дозволяє знайти рівняння для обчислення критеріїв за окремими параметрами процесу.

Позначивши відношення параметрів двох гідродинамічних процесів через С, з рівняння Нав'є-Стокса (рівняння (2, б) в табл. 3) отримаємо умови подібності:

(23)

При переході від диференціальних рівнянь до відношень параметрів потрібно приймати деякі припущення про характер зміни похідних по координатах. Прийнято, що

(24)

Зі співвідношень (23) випливає, що для подібних процесів

(25)

aбо

Останнє співвідношення називається критерієм Ейлера:

(26)

Величина Eu характеризує відношення сил тиску до конвек-тивної складової інерційних сил по­току.

Критерій Рейнольдса Re характеризує відношення конвективної складової інерційних сил до сил внутрішнього тертя:

(27)

де l – визначальний лінійний розмір.

Критерій Фруда:

(28)

характеризує відношення S_ін^к/S_ГР, тобто відносну величину сил тяжіння. Модифікацією його є критерій Галілея:

(29)

Відношення конвективної складової інерційних сил до локальної характеризується критерієм гомохронності:

(30)

Для подібності явищ необхідна також подібність геометричних розмірів, початкових і граничних умов. Тому в розв'язок рівняння (22) входять симплекси – відношення однорідних величин, що характеризують подібність геометричних розмірів, початкових і граничних умов.

В таблиці 3 наведений в загальному вигляді розв'язок системи рівнянь, що описує встановлений рух однофазного потоку: у загальному випадку – рівняння (3, а), для вимушеного руху – рівняння (3, б). Конкретний вигляд рівняння може бути визначений тільки за експериментальним даними.

Розглянемо, наприклад, використання рівняння типу (3, б) для розв'яку однієї з основних задач гідродинаміки, яка часто зустрічається при дослідженні об'єктів: визначення різниці тиску на ділянці вимушеного руху однофазного потоку при заданій швидкості потоку. Для розв'язку цієї задачі використовується співвідношення:

(31)

одержане з рівняння (3, б). При русі однофазного потоку по горизонтальних трубах експеримен­тально знайдена залежність:

(32)

де l/d – симплекс геометричної подібності (відношення довжини труби l до її діаметра d ).

Після підстановки виразів для Eu і Rе у залежність (32) отримаємо рівняння Дарсі-Вейсбаха, тобто рівняння (4, а), наведене в таблиці 3 (ξ_а=2φ(Re) - коефіцієнт гідравлічного опору). За цим рівнянням можна визначити втрати тиску на ділянці, якщо відома величина , яка формально залежить тільки від Rе. У дійсності враховує вплив двох факторів: втрати тиску на внутрішнє тертя рідини і втрати тиску від взаємодії потоку з поверхнею труби. Ця взаємодія не враховувалася при виведенні рівняння. Для ламінарного режиму руху рідини, коли Rе<2300, величина визначається тільки силами внутрішнього тертя і не залежить від стану поверхні труби. Для розви­нутого турбулентного руху (Rе>10000) втрати тиску на ділянці істотньо залежать від взаємодії потоку з поверхнею. Коефіцієнт ξ_a у цьому випадку повинен враховувати розміри труби. Визначається ξ_a експериментальним шляхом.

Втрати тиску на ділянках трубопроводу з місцевими гідравлічними опорами (зміна діаметра, засувки, вентилі, поворот труби) розраховуються за рівнянням (5), наведеному в табл. 3. Коефіціє­нти ξ_i залежать від виду місцевого опору, геометричних розмірів трубопроводу і знаходяться екс­периментально.

Якщо швидкість потоку по довжині трубопроводу змінюється (для газу, пари, двофазної ему­льсії), то в інженерних розрахунках при визначенні опору використовується величина середньої швидкості на ділянці.

При складанні математичного опису виробничого об'єкта потрібно також знання ступеня перемішування часток потоку, що визначає поле концентрацій і градієнт температури.

Зазвичай розглядаються три гідродинамічні моделі потоку: 1) повне витіснення; 2) повне пе­ремішування; 3) проміжний випадок.

При повному витісненні передбачається поршневий рух потоку: частки повністю перемішу­ються в площині, перпендикулярній напрямку потоку, а поздовжнє змішування відсутнє. У цьому випадку маємо систему з параметрами, розподіленими тільки в напрямку потоку.

При повному перемішуванні фізико-хімічні параметри однакові у всіх точках потоку (система із зосередженими параметрами).

У проміжному випадку існує обмін речовини між поперечними перерізами потоку, що руха­ються із середньою швидкістю в одному напрямку.

Перші дві моделі є в деякому сенсі ідеальними для промислових об'єктів. Однак можна вказа­ти області, в яких ця ідеалізація цілком прийнятна. Так, при дослідженні потоків рідини або пари, що рухаються з великою швидкістю по трубі зі значним відношенням довжини до діаметра, допу­стиме застосування моделі повного витіснення. Для реактора з мішалкою часто справедлива гідродинамічна модель повного перемішування. Для вивчення явища перемішування і узагальнення експериментальних даних запропонований ряд моделей гідродинамічного потоку: дифузійна, ко­міркова, з байпасуванням потоку.