5. Аналітичне складання рівнянь статики й динаміки

виробничих об’єктів

Сукупність математичних виразів, що характеризують сталий у часі режим роботи об'єкта, є математичним описом його статики. Рівняння, що визначають залежність вихідних коор­динат об'єкта від вхідних координат називаються статичними характеристиками.

Статичні характеристики необхідні для правильного вибору апаратів при проектуванні техно­логічного процесу, визначення нормальних режимів роботи устаткування, оптимізації виробничих процесів і конструювання об'єктів із заздалегідь заданими властивостями.

За видом статичних характеристик об'єкти діляться на стаціонарні й нестаціонарні.

Для стаціонарних об'єктів сталий режим незмінний у часі, тобто рівняння статики не залежать від часу.

Для нестаціонарних об'єктів співвідношення між координатами є функціями тривало­сті і режиму роботи хіміко-технологічного апарату. Нестаціонарність статики об'єкта виникає, наприклад, при зміні активності каталізатора, відкладанні солей на теплопередаючих поверхнях тощо. У рівняння статики нестаціонарного об'єкта входить незалежна змінна τ – час роботи апарата. Загалом кажучи, у нестаціонарних об'єктах має місце деякий безперервний динамічний процес, який проходить повільно. Визначення диференціальних рівнянь цього процесу пов'язане з великими труднощами, тому облік його впливу здійснюється введенням у рівняння статики функ­цій часу τ.

Для багатьох промислових хіміко-технологічних об'єктів зміни статичних характеристик у ча­сі невеликі. Такі об'єкти в першому наближенні можуть розглядатися як стаціонарні, а в складені аналітичним методом рівняння їхньої статики не повинне входити τ.

Якщо швидкість зміни статичних властивостей об'єкта істотна, то його можна розглядати як стаціонарний на деякому відрізку ∆τ часу. Система рівнянь статики таких квазістаціонарних об'єк­тів також не залежить від часу, але коефіцієнти її змінюються залежно від того, якому інтервалу ∆τ належить момент часу τ.

У рівняння статики об'єктів з розподіленими в просторі параметрами входять диференціальні рівняння в частинних похідних (для одномірних задач - у звичайних похідних). Статика об'єктів із зосередженими параметрами описується кінцевими – алгебраїчними або трансцендентними – рівняннями. Наприклад, статика ізотермічного трубчастого реактора довжиною L характеризуєть­ся рівнянням:

, (0≤l≤L), (39)

де с₁(l), с₂(l) – концентрації речовин С₁, С₂… у перерізі, розташова-ному на відстані l від входу в апарат.

Статична характеристика реактора з мішалкою для проведення гомогенної реакції задається кінцевим співвідношенням:

(40)

де с_1ВХ і с_2ВИХ – концентрації речовини на вході та виході апарата з об'ємом V.

У загальному випадку статична характеристика хіміко-технологічного об'єкта залежить від фізико-хімічних властивостей речовин, що переробляють, від характеру та ступеня досягнення рівно­ваги процесів дифузії, хімічних перетворень, передачі тепла тощо, а також від конструктивного оформлення установки.

Математичний опис статики хіміко-технологічного об'єкту складається з трьох груп рів­нянь: 1) матеріального й теплового балансу; 2) термодинамічної рівноваги системи (для відліку рушійної сили процесу); 3) швидкостей протікання процесів (хімічних реакцій), тепло- і масопере­дачі.

Сукупність математичних виразів, що описують зміни в часі вихідних координат об'єкту, є математичним опис його динаміки. Рівняння, що встановлюють залежність змін вихід­них координат від варіацій вхідних збурюючих параметрів, прийнято називати динамічними хара­ктеристиками. Універсальним видом опису динамічної характеристики є диференціальне рівнян­ня.

Перехідні процеси в об'єктах із зосередженими параметрами описуються диференціальними рівняннями у звичайних похідних, в яких в якості незалежної змінної розглядається час t. Напри­клад, зміна концентрації c₁(t) речовини С₁ у безперервно працюючому реакторі ідеального змішу­вання характеризується рівнянням:

, (41)

де G₁, c₁^’(l) – витрата і концентрація речовини С₁ на вході в реактор з постійним об'ємом V; G₂, c₁(t) – витрата і концентрація речовини С₁ на виході установки; W_Р – швидкість утворення речо­вини С₁ у хімічній реакції.

Динаміка об'єктів з розподіленими параметрами описується диференціальними рівняннями в часткових похідних, що містять також похідні за часом. Зокрема, динаміка трубчатого реактора ідеального витіснення характеризується рівнянням:

, (42)

де V – швидкість потоку; l – координата по довжині трубки.

Параметри диференціальних рівнянь статики і динаміки стаціонарних об'єктів не залежать від часу. Характеристики ж нестаціонарних об'єктів залежать від часу пробігу τ.

У рівняння динаміки хіміко-технологічних об'єктів зазвичай входять статичні характеристики. Тому методика аналітичного складання рівнянь динаміки в основному аналогічна послідовності виведення статичних залежностей.