3.3.3. Чистые и смешанные стратегии

Если в игре каждый из противников применяет только одну и ту же стратегию, то про саму игру в этом случае говорят, что она происходит в чистых стратегиях, а используемые игроком А и игроком В пара стратегий называются чистыми стратегиями.

Определение. В антагонистической игре пара стратегий (А_i, В_j) называется равновесной или устойчивой, если ни одному из игроков не выгодно отходить от своей стратегии.

Применять чистые стратегии имеет смысл тогда, когда игроки А и В располагают сведениями о действиях друг друга и достигнутых результатах. Если допустим, что хотя бы одна из сторон не знает о поведении противника, то идея равновесия нарушается, и игра ведется бессистемно.

В рассмотренном в 3.3.2 примере 1 максиминные чистые стратегии А₄ и В₅ неустойчивы по отношению к информации о поведении противника; они не обладают свойством равновесия.

Действительно, предположим, что мы узнали, что противник придерживается стратегии В₃. Используя эту информацию, выберем стратегию А₁ и получим больший выигрыш, равный 7. Но если противник узнал, что наша стратегия А₁, он выберет стратегию В₄, сведя наш выигрыш к 4.

Таким образом, в рассмотренном примере максиминные чистые стратегии оказались неустойчивы по отношению к информации о поведении другой стороны. Но это не всегда так.

Рассмотрим матричную игру G (34), платёжная матрица которой приведена на рис 3.4.

Рис. 3.4. Пример матричной игры с седловой точкой

В этом примере нижняя цена игры равна верхней:     , т.е. игра имеет седловую точку.

Оказывается, что в этом случае максиминные стратегии А₂ и В₂ будут устойчивыми по отношению к информации о поведении противника.

Действительно, пусть игрок А узнал, что противник применяет стратегию В₂. Но и в этом случае игрок А будет по-прежнему придерживаться стратегии А₂, потому что любое отступление от стратегии А₂ только уменьшит выигрыш. Равным образом, информация, полученная игроком В, не заставит его отступить от своей стратегии В₂.

Пара стратегий А₂ и В₂ обладает свойством устойчивости, а выигрыш (в рассматриваемом примере он равен 9), достигаемый при этой паре стратегий, оказывается седловой точкой платёжной матрицы.

Признак устойчивости (равновесности) пары стратегии – это равенство нижней и верхней цены игры.

Стратегии А_i и В_j (в рассматриваемом примере А₂, В₂), при котором выполняется равенство нижней и верхней цены игры, называются оптимальными чистыми стратегиями, а их совокупность – решением игры. Про саму игру в этом случае говорят, что она решается в чистых стратегиях.

Величина

(3.5)

называется ценой игры.

Если   , то игра выгодна для игрока А, если    – для игрока В; при   0 игра справедлива, т.е. является одинаково выгодной для обоих участников.

Однако наличие седловой точки в игре – это далеко не правило, скорее, – исключение. Большинство матричных игр не имеет седловой точки, а следовательно, не имеет оптимальных чистых стратегий. Разновидностью игр, которые всегда имеют седловую точку и, значит, решаются в чистых стратегиях, являются игры с полной информацией.

Теорема 2. Каждая игра с полной информацией имеет седловую точку, а следовательно, решается в чистых стратегиях, т.е. имеется пара оптимальных чистых стратегий, дающая устойчивый выигрыш, равный .

Например, шахматная игра, как игра с полной информацией, либо всегда кончается выигрышем белых, либо всегда выигрышем черных, либо всегда ничьей (только чем именно – мы пока не знаем, так как число возможных стратегий в шахматной игре огромно).

Если матрица игры содержит седловую точку, то её решение сразу находится по принципу максимина.

Возникает вопрос: как найти решение игры, платёжная матрица которой не имеет седловой точки? Применение максиминного принципа каждым из игроков обеспечивает игроку А выигрыш не менее , игроку В проигрыш не больше . Учитывая, что , естественно для игрока А желание увеличить выигрыш, а для игрока В – уменьшить проигрыш. Поиск такого решения приводит к необходимости применять смешанные стратегии: чередовать чистые стратегии с какими-то частотами.

Определение. Случайная величина, значениями которой являются чистые стратегии игрока, называется его смешанной стратегией.

Таким образом, задание смешанной стратегии игрока состоит в указании тех вероятностей, с которыми выбираются его чистые стратегии.

Будем обозначать смешанные стратегии игроков А и В соответственно

где p_i – вероятность применения игроком А чистой стратегии А_і; ;

q_j – вероятность применения игроком В чистой стратегии B_j; .

В частном случае, когда все вероятности, кроме одной, равны нулю, а эта одна – единице, смешанная стратегия превращается в чистую.

Применение смешанных стратегий осуществляется, например, таким образом: игра повторяется много раз, но в каждой партии игрок применяет различные чистые стратегии с относительными частотами их применения, равными p_i и q_j.

Смешанные стратегии в теории игр представляют собой модель изменчивой, гибкой тактики, когда ни один из игроков не знает, какую чистую стратегию выберет противник в данной партии.

Если игрок А применяет смешанную стратегию , а игрок В смешанную стратегию , то средний выигрыш (математическое ожидание) игрока А определяется соотношением

. (3.6)

Естественно, что ожидаемый проигрыш игрока В равен такой же величине.

Итак, если матричная игра не имеет седловой точки, то игрок должен использовать оптимальную смешанную стратегию, которая обеспечит максимальный выигрыш .

Возникает вопрос, какими соображениями нужно руководствоваться при выборе смешанных стратегий? Оказывается принцип максимина сохраняет свое значение и в этом случае. Важное значение для понимания решения игр играют основные теоремы теории игр.