6.3. Методы нахождения функций принадлежности

Из множеств методов нахождения функций принадлежности (ФП) НМ можно выделить две группы методов: прямые и косвенные.

В прямых методах эксперт или группа экспертов просто задают для каждого x  X значение ФП. Как правило, прямые методы построения ФП используются для таких свойств, которые могут быть измерены по некоторой количественной шкале. Процесс задания ФП на основе некоторого количественного значения измеримого признака получил специальное название – фазификация (приведение к нечёткости). Поскольку абсолютная точность измерений является лишь удобной идеализацией для построения математических моделей, то фазификация более адекватно представляет объективно присутствующую неточность результатов физических измерений.

Для задания ФП может быть использована следующая процедура экспертного опроса. Если на вопрос о принадлежности элемента x_i к НМ A L₁ экспертов из L экспертов отвечает положительно, то

. (6.4)

При прямых методах можно использовать и статистические данные наблюдения за объектом исследования. На основе статистических данных строится гистограмма той или иной неизвестной точно величины, которая и используется для задания ФП.

При использовании прямых методов построения ФП следует учитывать то обстоятельство, что не требуется абсолютно точного задания ФП, а достаточно фиксации лишь наиболее характерных её значений (например, для трапециевидной ФП – задание границ носителей и ядер).

Косвенные методы определения ФП используются в тех случаях, когда отсутствуют очевидные измерения свойства объекта исследования. При этом значения ФП должны удовлетворять заранее сформулированным условиям, а экспертные оценки являются исходными для их дальнейшей обработки. Дополнительные условия могут налагаться как на вид получаемой информации, так и на процедуру обработки.

Для конечных нечётких множеств среди косвенных методов нашёл широкое применение метод попарных сравнений, который основан на следующем предположении. Если бы значения искомой ФП были известны, то попарные сравнения элементов нечёткого множества A можно было бы представить в виде матрицы S с элементами .

На практике вначале строят матрицу сравнений S, в которой , , где n – число элементов НМ. Для определения элементов S_ij можно использовать, например, шкалу относительной важности элемента НМ, приведённую в табл. 6.1.

Таблица 6.1.

Построение функции принадлежности сводится к нахождению вектора W = ₁, ₂, …, _n, который является решением матричного уравнения

, (6.5)

где E – единичная матрица;

_max – максимальное собственное число матрицы S;

T – означает транспонирование (вектор-строка превращается в вектор-столбец).

Вычисленные значения вектора W принимаются в качестве значений ФП: . Поскольку все значения элементов матрицы S положительны по построению, то решение уравнения (6.5) существует и является положительным. Так как всегда выполняется равенство , то величина отклонения _max от n может служить мерой согласованности мнений экспертов. Количество вопросов к эксперту при данном методе равно , так как по определению а . Из-за необходимости решать матричное уравнение данный метод является трудоёмким.

Другим косвенным методом построения функции принадлежности, не требующим решения матричного уравнения, является метод ранговых оценок. Под рангом r_ij элемента x_i  X нечёткого множества A понимается число, характеризующее значимость этого элемента в формировании множества A. Естественно, что чем больше ранг элемента, тем больше значение его функции принадлежности. Предлагается выполнение условия

. (6.6)

Если добавить условие нормировки, например вида

, (6.7)

то значения ФП _A(x_i) легко находятся из уравнений (6.6) и (6.7):

. (6.8)

Выражение (6.8) даёт возможность определять ФП по абсолютным значениям рангов r_i, которые могут определяться по 9-ти бальной шкале в соответствии с табл. 6.1.

Пример. Нечёткая переменная А состоит из пяти элементов x_i  Х, ранги которых по 9-ти бальной шкале равны: r₁  2; r₂  9;r₃  4; r₄  8; r₅  6. Необходимо определить ФП нечёткой переменной A.

Решение. Используя метод ранговых оценок, в соответствии с (6.8) получаем: ₁  0,22; ₂  1; ₃  0,44; ₄  0,89; ₅  0,67.

В заключение отметим, что с одной стороны одна и та же ФП может описывать качественно различные НМ, а с другой, – одно и то же НМ может быть представлено различными ФП, отражающими неоднозначность субъективных представлений о нём.