6.5. Сравнение нечётких величин

Если пересечение носителей двух нечётких величин и не пусто Ø), вопрос “Какая из этих двух величин больше?” не является простым.

Действительно, пусть при первой реализации значения нечётких величин и оказались равными и , а во второй реализации равными оказались значения и (рис.6.10), тогда в первом случае , а во втором – .

Рис. 6.10. Сравнение нечётких величин А и В

Таким образом, в общем случае отношения строгого порядка > или < на множестве нечётких величин являются нечёткими и лишь в случае, когда Ø, эти отношения между нечёткими величинами будут строгими.

Для сравнения нечётких величин используется ряд индексов ранжирования (сравнения), которые должны быть некоторой чёткой функцией от нечётких аргументов. Значение индекса ранжирования для каждой пары нечётких величин должно показывать, какая из двух нечётких величин и больше (меньше) и во сколько раз. Если , то в раз, в противном случае .

Рассмотрим некоторые из возможных индексов ранжирования для нормальных нечётких величин.

Индекс ранжирования определяется следующим образом: если , то

, (6.20)

причём, если , то , в противном случае .

Пример. Сравнить и , ФП которых показаны на рис.6.11.

Рис. 6.11. Определение индекса ранжирования Н₁(А,В)

Решение. Для рассматриваемого примера из рис. 6.11 получаем, что

Точное значение можно найти из решения алгебраического уравнения, левая и правая части которого описывают соответствующие ветви ФП нечётких величин и . Находим значение , которое соответствует точке пересечения этих ветвей: Откуда

Подставляя это значение в соответствующие уравнения пересекающихся ветвей ФП, получаем:

Так как то Н₁  Н(А, В)  0,875, т.е. .

Индекс ранжирования определяем следующим образом:

, (6.21)

где

(6.22)

и – -срезы нечётких величин и соответственно.

По индексу ранжирования большим считается та нечёткая величина, у которой координата середины -среза больше (рис.6.12).

Легко показать, что для трапециевидных ФП индекс ранжирования можно рассчитывать по формуле

, (6.23)

где НЧ с трапециевидной ФП определяется числами , а НЧ .

Рис. 6.12. Определение индекса ранжирования Н₂(А,В)

Для случая индекс ранжирования сводится к оценке интервалов, соответствующих ядрам НЧ и , а при – оценке интервалов, соответствующих носителям чисел и . На практике обычно берут .

При получаем:

. (6.24)

Для рассматриваемого примера (рис. 6.11) и   0,6 получаем:

,

то есть немного меньше В.

Используется также интегральный от индекс ранжирования :

. (6.25)

Для трапециевидных ФП индекс ранжирования принимает простой для расчётов вид:

. (6.26)

Как видим, в том случае совпадает с индексом для случая, когда -срез берётся на уровне   0,5.

Для нечётких величин, представленных на рис. 6.11, получаем:

.

Индекс ранжирования равен

, (6.27)

где и – аргументы носителей величин А и В соответственно, делящие их ФП на равные по площади части, то есть:

(6.28)

. (6.29)

Для рассматриваемого выше примера, чтобы определить и , вначале определим площадь под ФП нечётких величин и :

Далее определяем координаты и , делящие эти площади на равные части:

Из этих уравнений получаем . Тогда Следовательно по индексу ранжирования чуть-чуть больше .

Лица, принимающие решения, которые не склонны к риску, могут использовать индекс ранжирования , который для случая имеет вид

. (6.30)

По этому индексу большей считается та нечёткая величина, у которой аргумент правой части ядра больше (ранжирование по правому модальному значению ФП). Для и , представленных на рис. 6.11, имеем:

Индекс ранжирования равен:

, (6.31)

где и – координаты центра тяжести ФП нечётких величин и соответственно.

Координата центра тяжести вычисляется по формуле

. (6.32)

Для рассматриваемого примера (рис.6.11) получаем, что:

;

Следовательно,

В табл. 6.2 приведены значения различных индексов ранжирования для нечётких величин с различными ФП.

Таблица 6.2

Нечёткие числа	Индексы ранжирования
	Н1	Н2				Н3	Н4	Н5
		=1	=0,8	=0,2
	0,67	0,5	0,57	0,87	0,71	0,5	0,8	0,8
	1	1	1	1	1	1	1	1
	0,85	0,6	0,67	1	0,81	0,86	0,8	1

Нечёткие числа	Индексы ранжирования
	Н1	Н2				Н3	Н4	Н5
		=1	=0,8	=0,2
	0,83	0,75	0,84	1,19	1	0,73	0,75	1,06
	0,875	0,556	0,67	1,12	0,87	0,87	0,6	0,96

Сравнительная оценка результатов ранжирования нечётких величин, приведённых в табл. 6.2, показывает, что индексы ранжирования и при одинаково проранжировали нечёткие величины, хотя их значения, характеризующие степень отличия, и не совпадают.

Существенные отличия даёт индекс ранжирования при малых уровнях -среза. В этом случае, по существу, производится интервальная оценка носителей нечётких величин.

Индекс имеет во всех приведённых примерах большие значения, чем другие индексы.

В соответствии с рекомендациями прикладного системного анализа совпадение результатов ранжирования, полученных по различным индексам, даёт ЛПР большую степень уверенности в правильности принимаемого решения.

Расчёт всех индексов ранжирования, по существу, состоит из двух этапов: на первом этапе каждому нечёткому числу ставят в соответствие чёткое число, например, А_  А_; х_0А; х_ц.т.А; max(arg max_A(x)). Этот этап называется дефазификацией (приведение к чёткости). На втором этапе производится сравнение уже чётких величин, полученных в результате дефазификации.

Дефазификация используется не только, когда требуется сравнивать нечёткие величины, но и в нечётких системах принятия решений, в задачах распознавания и других.

Действительно, поскольку в системах управления исполнительные устройства должны получать команды в виде точных, конкретных значений, то необходимо преобразовывать нечёткую информацию в точные значения управляющих сигналов.

Наиболее часто для дефазификации используют метод определения центра площади ФП, как в индексе ранжирования , или метод центра тяжести, как в индексе ранжирования .

Пример. Дефазификация.

Пусть необходимая сумма наличных долларов в пункте обмена в начале рабочего дня, как показывает опыт, является нечёткой величиной с ФП вида: А  1; 2; 3; 4; 5.

Необходимо решить, какую сумму долларов завести в данный пункт обмена (произвести дефазификацию НЧ А).

Решение. Если проводить дефазификацию по методу определения центра тяжести ФП , то получаем:

.

Таким образом, в пункт обмена следует завезти $ 2,8 тыс.

Если проводить дефазификацию по методу центра площади ФП , то определяется из уравнения

.

Так как , то Тогда или .

Как видим, отличие результатов дефазификации по двум методам несущественно (результаты отличаются на ).