3.3.5. Решение матричной игры (22)

Пусть матричная игра G (22) имеет платёжную матрицу

Предположим, что игра не имеет седловой точки, т.е. . При наличии седловой точки решение очевидно.

В соответствии с основной теоремой игра имеет оптимальное решение в смешанных стратегиях и , где вероятности применения (относительные частоты применения) чистых стратегий удовлетворяют соотношениям

; (3.11)

. (3.12)

В соответствии с теоремой об активных стратегиях, оптимальная смешанная стратегия обладает тем свойством, что обеспечивает игроку максимальный средний выигрыш, равный цене игры , независимо от того, какие действия предпринимает другой игрок, если тот не выходит за пределы своих активных стратегий. В частности, если игрок А использует свою оптимальную смешанную стратегию, а игрок В – свою чистую активную стратегию В₁, то цена игры  равна

, (3.13)

а при использовании игроком В чистой активной стратегии В₂, выигрыш будет равен

. (3.14)

Уравнения (3.11), (3.13) и (3.14) образуют систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: .

Решая её, находим, что

; (3.15)

; (3.16)

. (3.17)

Если игрок В использует свою оптимальную смешанную стартегию, а игрок А – свою чистую активную стратегию А₁, то цена игры  равна

, (3.18)

а при использовании игроком А чистой активной стратегии А₂, выигрыш будет равен

. (3.19)

Уравнения (3.12), (3.18) и (3.19) образует систему трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными: .

Решая её, находим, что

. (3.20)

. (3.21)

. (3.22)

Естественно, что в обоих случаях цена игры (выражения (3.17) и (3.22)) получилась одна и та же.

Решения системы уравнений (3.15), (3.16), (3.17) и (3.20), (3.21), (3.22), полученные алгебраическим методом, удобно получать и графическим методом (рис. 3.5, 3.6). Для нахождения вероятностей и цены игры  в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывается вероятность , а по оси ординат – соответствующие этой вероятности – выигрыши игрока А.

Рис. 3.5. Графическое изображение игры для игока А

При , игрок А применяет чистую стратегию А₂. Если при этом игрок В применяет чистую стратегию В₁, то выигрыш игрока А равен а₂₁ (уравнение (3.13)), а если игрок В применяет чистую стратегию В₂, то выигрыш игрока А равен а₂₂ (уравнение (3.14)). При , игрок А применяет чистую стратегию А₁.

Если при этом игрок В применяет чистую стратегию В₁, то выигрыш игрока А равен а₁₁, а при применении чистой стратегии В₂ – а₁₂. Так как значения лежат в пределах [0,1], то соединяя крайние точки для стратегий В₁ и В₂ (строя графики функций _А = (a₁₁ – a₂₁)p₁ + a₂₁ и _А = (a₁₂ – a₂₂)p₁ + a₂₂, получаем значения выигрышей игрока А для всех промежуточных значений р₁.

В соответствии с принципом максимина, игрок А должен выбрать такую смешанную стратегию, при которой его минимальный выигрыш максимален. Точка N пересечения отрезков прямых (рис. 3.5 ) и определяет как оптимальную цену игры _opt, так и оптимальные вероятности p_1opt и p_2opt = 1 – p_1opt, соответствующие оптимальной смешанной стратегии игрока А, т.е. дает решения системы уравнений (3.11), (3.13), (3.14).

Для графического решения системы уравнений (3.12), (3.18), (3.19) отложим по оси абсцисс вероятность , а по оси ординат соответствующие этой вероятности выигрыши игрока В:

_B = (a₁₁ – a₁₂)q₁ + a₁₂; (3.23)

_B = (a₂₁ – a₂₂)q₁ + a₂₂. (3.24)

Решением являются координаты точки М пересечения прямых (рис. 3.6), описываемых уравнениями (2.23) и (2.24): q_1opt; q_2opt = 1 – q_1opt и _opt.

Это же следует и из принципа максимина, в соответствии с которым игрок В должен выбрать такую смешанную стратегию, при которой его максимальный проигрыш будет минимальным.

Рис. 3.6. Графическое изображение игры для игрока В

Для игры G(2х2) с седловой точкой геометрическая интерпретация решения может быть представлена, например, следующим образом (рис.3.7).

Стратегия В₂ игрока В является для него явно невыгодной, так как, применяя её, он в любом случае проигрывает больше, чем при применении стратегии В₁. В данной игре ; ; , т.е. игра имеет седловую точку N и решается в чистых стратегиях. Игрок А должен применять стратегию А₁, а игрок В – стратегию В₁.

Рис. 3.7. Решение игры в чистых стратегиях

На рис. 3.8 показан случай, в котором решением игры для игрока А является чистая стратегия А₂, а для игрока В – стратегия В₁. Игра имеет седловую точку N.

Рис. 3.8. Решение игры в чистых стратегиях

Пример. Найти алгебраическим и геометрическим методами решение игры, платёжная матрица которой имеет вид

В данной игре нижняя цена игры  = 1 не равна верхней цене игры  = 3, поэтому игра не имеет седловой точки и, в соответствии с основной теоремой матричных игр, имеет оптимальное решение в смешанных стратегиях.

Для игрока А, в соответствии с формулами (3.15) и (3.16), оптимальные вероятности применения стратегий А₁ и А₂ равны

;

.

Для игрока В, в соответствии с формулами (3.20) и (3.21), оптимальные вероятности применения стратегий В₁ и В₂ равны

;

.

Таким образом, оптимальные смешанные стратегии игроков ; , а цена игры в соответствии с формулой (3.22) равна

.

Так как , то игра выгодна для игрока А.

Графическое изображение игры для игрока А показано на рис. 3.9.

Рис. 3.9. Графическое изображение игры для игрока А

Нижняя граница выигрыша игрока А определяется ломаной CND. Оптимальное решение, определяется точкой N, и естественно, дает тоже решение, что и алгебраический метод: , .

Геометрическое изображение игры для игрока В показано на рис.3.10.

Рис. 3.10. Графическое изображение игры для игрока В

Оптимальное решение, определяемое точкой М, дает решение , .