6.6. Сравнение конечных нечётких множеств

Пусть требуется сравнить два нечётких множества и , заданных на конечном универсуме . Измерение частичного совпадения множеств и сводятся к оценке их пересечения ; измерение несовпадения – к оценке пересечения или , а измерение сходства – к оценке разности . Соответствующие индексы сравнения определяются как функции мощности нечётких множеств ; и . Обобщённый индекс сравнения имеет вид:

, (6.33)

где  – операции над НМ;

g – скалярная функция нечёткого множества;

f – операция, обеспечивающая нормализацию скалярной функции.

Скалярная функция есть отображение всех нечётких множеств в значения , отвечающее условиям (Ø) = 0; (Х) = 1; , если . Индексы сравнения имеют следующие свойства:

1. если Ø, ;

2. если .

В качестве индекса несовпадения НМ и может быть величина

(6.34)

где – означает скалярную мощность нечёткого множества:

(6.35)

Заметим, что , как правило, не равняется . Это свойство может использоваться для определения, какое из конечных нечётких величин больше. Если , то . В качестве индекса совпадения НМ и может быть величина

. (6.36)

Очевидно, что .

Наконец, в качестве индекса сходства может быть взята величина

(6.37)

Заметим, что индексы и отражают различную информацию о нечётких множествах и поэтому сходство и отрицание несходства не будут точными синонимами.

Для этого индекса также справедливо свойство

Пример. Пусть имеется два рынка продажи хороших автомобилей.

Первый рынок определяется НМ

,

а второй рынок НМ

.

Требуется сравнить эти два рынка.

Решение. Индекс несовпадения НМ A и B:

Индекс совпадения НМ и :

Индекс сходства:

6.7. Нечёткие отношения

Понятия нечёткого отношения, как и само понятие нечёткого множества, относятся к фундаментальным основам теории нечётких множеств.

Нечётким отношением Q называется некоторое фиксированное нечёткое подмножество, заданное на декартовом произведении множеств (универсумов) Х₁  Х₂  …  Х_п своей функцией принадлежности _q  0,1.

Если нечёткое отношение Q задаётся на декартовом произведении двух множеств (универсумов) Х  Y, то оно называется бинарным, а в общем случае  k-нарным нечётким отношением.

Функция принадлежности _q(Х_, Y) нечёткого бинарного отношения определяет степень зависимости между х  Х и y  Y. Например, в случае нечёткой системы управления нечёткое отношение Q можно трактовать, как описание нечёткой реакции этой системы на каждое входное управление х_i  Х (рис. 6.13).

EMBED Word.Picture.8

Рис. 6.13. Интерпретация нечёткого отношения как реакции нечёткой системы управления

Таким образом, на каждое воздействие х_i  Х на выходе нечёткой системы управления можно получить любой отклик y_j  Y, но с разной возможностью, которая определяется значением функции принадлежности _i(y_j).

Бинарное нечёткое отношение называется нечётким отображением, если для любого элемента х_i  Х существует не более одного элемента y_j  Y с отличным от нуля значением функции принадлежности.

Если в качестве универсумов X и Y рассматриваются числовые множества, то соответствующее нечёткое отображение называется нечёткой функцией.

Нечёткая алгебраическая операция является частным случаем нечёткого отношения, когда все универсумы Х₁, Х₂, …, Х_п тождественно равны X.

Для нахождения реакции (отклика) нечёткого отношения на нечёткое входное множество (в частном случае, значение нечёткой функции от нечёткого аргумента) необходимо использовать принцип обобщения.

Принцип обобщения позволяет ответить на вопрос, какое нечёткое множество B в Y следует поставить в соответствие нечёткому множеству A  X если известно нечёткое отношение предпочтения Q.

Принцип обобщения. Образом нечёткого множества A в X при нечётком отношении Q(_q  (x, y)) является нечёткое множество B с функцией принадлежности

. (6.38)

Как следует из (6.38) в основе этого определения лежит максиминная композиция функций принадлежности _A(x) и _q(x, y).

В частном случае, когда Q  чёткое отображение y  (x), то определение (6.38) приобретает вид:

. (6.39)

Нечёткие отношения могут задаваться различными способами: в виде матрицы нечёткого отношения; в виде нечётких графов; аналитически в форме некоторых математических функций.

Пример. Пусть НМ A имеет вид: A  (x₁/0,2); (x₂/0,5); (x₃/1); (x₄/0,6) а нечёткое бинарное отношение Q имеет вид ФП _q(x, y), которая задана следующей матрицей:

.

Требуется найти образ B нечёткого множества A в Y, отображаемый нечётким отношением Q.

Решение. В соответствии с принципом обобщения (6.38) вначале берётся операция минимума для всех элементов строки _A(x) и столбца _q(x, y_j), а затем для полученных результатов берётся операция максимума (для данной задачи операция sup (нахождение точной верхней границы) эквивалентна операции max):

Таким образом, B  (y₁/0,5); (y₂/1); (y₃/0,5).

Рассмотрим нечёткое отношение, которое содержательно описывает выбор рыночной стратегии. Пусть универсальное множество X состоит из трёх элементов характеризующих рынки сбыта: x₁  имеющийся хорошо известный рынок сбыта; x₂  новый рынок, связанный с имеющимся рынком; x₃  совершенно новый рынок сбыта. Универсальное множество Y также содержит три элемента: y₁  товары, выпускаемые в настоящее время; y₂ – новые товары, связанные по характеру со старыми товарами; y₃  совершенно новые товары.

Нечёткое отношение, которое характеризует модель “Рынок/Товары”, представим в виде следующего нечёткого графа (рис. 6.14).

Рис. 6.14. Нечёткий граф отношения Q, характеризующий модель “Рынок/Товары”

Значения функций принадлежности _q(x_i, y_j) количественно описывают степень уверенности в успешной продаже товаров на том или ином рынке. Они заданы на основе субъективных оценок менеджера, и исходят из известного правила, что продавать существующий ассортимент товаров или услуг проще тем покупателям, которые уже их покупали, а осваивать новые рынки сбыта сложнее.

Пример. Пусть рынки сбыта характеризуются нечётким множеством A  (x₁/0,8); (x₂/1); (x₃/0,3). Используя нечёткое отношение Q для модели “Рынок/Товары”, представленное нечётким графом на рис. 6.14 требуется найти образ B нечёткого множества “Выпускаемые товары”.

Решение. В соответствии с принципом обобщения:

Ответ. B = (y₁/0,8); (y₂/0,9); (y₃/0,5), то есть наименее рекомендуемыми для производства являются совершенно новые товары.

Рассмотрим еще один случай, когда нечёткое множество А непрерывно. В этом случае и отношение предпочтения также представляет собой непрерывную функцию. Вновь требуется найти нечёткое множество В.

Решение данной задачи покажем на следующем примере 16.

Пример. Нечёткое множество А имеет функцию принадлежности , k₁  0, x  0. Нечёткое отношение  имеет функцию принадлежности , k₂  k₁ (рис. 6.15).

Требуется найти нечёткое множество В, индуцируемое нечётким отношением 

Решение. В соответствии с принципом обобщения вначале найдем .

Как видно из рис.6.15. кривые _А(х) и _(x,y) пересекаются в двух точках, в которых

а) при 0  х  y;

б) при х  y.

Рис. 6.14. К определению нечёткой функции от нечёткого аргумента

Первая точка соответствует , а вторая  .

Максимум минимума (_А(х), _(х, y)) достигается в точке .

Подставляя это значение в выражение _(х, y), получаем .

Нечёткие отношения имеют такие же характеристики, что и нечёткие множества: носитель; ядро; -срез. И над ними можно выполнять операции пересечения, объединения, разности, дополнения.

Нечёткое отношение Q строго доминирует нечёткое отношение G (записывается G  Q), если значения функции принадлежности первого отношения строго больше соответствующих значений ФП второго.

Если нечёткое бинарное отношение R задано на декартовом произведении универсумов X₁ и X₂, а нечёткое бинарное отношение Q на декартовом произведении универсумов X₁  X₃, то нечёткое бинарное отношение, заданное на декартовом произведении X₁  X₃ с функцией принадлежности , называется композицией двух бинарных нечётких отношений.

Из определения операции композиции следует, что она ассоциативна, то есть

R  (Q  P) = (R  Q)  P. (6.40)

Пример. Пусть бинарные нечёткие отношения R и Q имеют, соответственно, матрицы ФП вида:

,

.

Найти композицию R  Q нечётких отношений.

Решение. В соответствии с максиминной свёрткой (6.40) получаем:

Бинарное нечёткое отношение, заданное на одном универсуме X, определяется как нечёткое отношение Q, функция принадлежности которого _q(x_i, x_j)  0, 1, где x_i  X и x_j  X.

Пример. Пусть универсум X состоит из 5 натуральных чисел: X = [1; 2; 3; 4; 5], а Q описывает свойство “натуральное число x_i  X приближённо равно натуральному числу x_j  X”.

Тогда бинарное нечёткое отношение на одном универсуме X может иметь следующую функцию принадлежности:

.

Бинарное нечёткое отношение, заданное на одном универсуме X, может обладать такими свойствами как:

Рефлексивность: _q(x_i, x_j) = 1; x_i  X (главная диагональ матрицы _Rq(x_i, x_j) имеет элементы, равные единице).

Симметричность:_q(x_i, x_j) = _q(x_j, x_i), x_i, x_j  X (элементы матрицы _q(x_i, x_j) симметричны относительно главной диагонали).

Контранзитивность:_q(x_i, x_j)  min max

_q(x_i, x_j)  min max (_q(x_i, x_j), _q(x_i, x_j)), х_i, х_j, х_R  X (при увеличении разности х_i + х_j  ФП _q(x_i, x_j) монотонно уменьшается).

Пример. Пусть универсум X = [x₁, x₂, x₃, x₄]  некоторая совокупность людей. На этом универсуме задано бинарное нечёткое отношение Q, отражающее степень знакомства этих людей. Очевидно, что это нечёткое отношение обладает свойствами рефлективности и симметричности, однако свойством контранзитивности в общем случае не обладает.

Пусть .

Нас интересует возможность передачи информации (например, о возможном банкротстве банка) среди рассматриваемой совокупности людей. Эта задача может быть решена путём применения операции транзитивного замыкания бинарного нечёткого отношения, результатом которого является матрица

, (6.41)

где п  размерность матрицы М, а знак  означает операцию объединения.

В рассматриваемом примере п = 4.

Для получения матрицы транзитивного замыкания М_Т.З., используя последовательно максиминную композицию двух бинарных нечётких отношений, найдём матрицы:

;

.

Таким образом, матрица транзитивного замыкания равна:

.

Заметим, что в нашем примере М ³ = М ⁴. Оказывается, то это свойство носит общий характер: если для некоторого натурального числа k (1  k  n) М ^k = М ^k1, то дальнейшие расчёты степеней композиции М ^k1 выполнять не надо, а матрица транзитивного замыкания нечёткого отношения будет равна:

. (6.42)

Анализ полученной в примере матрицы М_Т.З показывает, что информация достаточно быстро распространяется среди всех без исключения людей рассматриваемой совокупности. Даже если в исходной матрице M ₂₃ = 0, то в матрице М_Т.З имеем ₂₃ = 0,8.