4.2.5. Критерий Ходжа-Лемона

Критерий Ходжа-Лемона является производным от двух критериев: критерия Байеса и критерия крайнего пессимизма Вальда.

Если исходная оценочная матрица является матрицей выигрышей, то решение, оптимальное по критерию Ходжа-Лемона, должно удовлетворять условию:

, (4.13)

где λ – коэффициент, характеризующий степень доверия ЛПР к используемым вероятностям состояний среды q_j.

Как и при критерии Гурвица λ выбирается из субъективных соображений. При условии λ  1 критерий Ходжа-Лемона превращается в критерий Байеса, а при λ  0 – в критерий Вальда.

Пример. Дана матрица выигрышей вида:

Имеются статистические данные, позволяющие предположить, что состояние среды имеют следующий закон распределения вероятностей:

g₁  P(s₁)  0,5; g₂  P(s₂)  0,3; g₃  P(s₃)  0,2.

Требуется найти оптимальное по критерию Ходжа-Лемона решение, если коэффициент доверия к статистическим данным λ  0.7.

Решение. В соответствии с выражением (4.13) получаем:

a₁  0,7(0,52 + 0,34 + 0,26) + 0,32  2,98;

a₂  0,7(0,55 + 0,35 + 0,22) + 0,32  3,68;

a₃  0,7(0,57 + 0,31 + 0,24) + 0,31  3,52.

Следовательно, .

Если исходная матрица является матрицей проигрышей |b_ij| или матрицей рисков |r_ij|, оптимальные решения по критерию Ходжа-Лемона определяются соответственно из условий:

, (4.14)

. (4.15)

Критерий Ходжа-Лемона применяется при следующих обстоятельствах:

• имеются некоторые предположения (статистические данные) о вероятностях состояний среды. Степень доверия ЛПР к этому ряду распределения вероятностей задается коэффициентом λ;

• принятие решения допускает большое число реализаций;

• при малом числе реализаций решения допускается некоторый риск.

4.2.6. Критерий Гермейера

Критерий Гермейера является максиминным критерием, который ориентирован на средний наихудший (как правило, отрицательный)результат. В соответствии с этим критерием оптимальное решение выбирается из условия:

. (4.16)

Пример. Два проекта в зависимости от экономической ситуации, которая имеет два состояния, дают доходность, представленную следующей матрицей:

.

Состояния среды имеют следующие вероятности: g₁  P(s₁)  0,6; g₂  P(s₂)  0,4.

Определить проект оптимальный по критерию Гермейера.

Решение. В соответствии с (4.16) определяем наихудший средний результат для каждого варианта решений:

a₁  40,4  1,6;

a₂  20,6  1,2;

a_k = max{a_i}  max{1,6; 1,2}=1,6.

Следовательно,  Х₁.

Если исходная матрица является матрицей проигрышей |b_ij| или матрицей рисков |r_ij|, оптимальные решения по критерию Гермейера определяются соответственно из условий:

. (4.17)

. (4.18)

Критерий Гермейера применяют в следующих случаях:

• имеется информация о вероятностях состояний среды;

• решение реализуется один или несколько раз;

• при малом числе реализаций решения допускается некоторый риск.

Очевидно, что в случае равномерного распределения вероятностей состояний среды, критерий Гермейера совпадает с критерием Вальда.

4.3. Рекомендации по принятию решений в условиях неопределенности состояния среды

Выбор критерия в условиях неопределенности состояния среды – субъективен; выбор коэффициента  в критерии Гурвица – тоже субъективен, значит, полученное решение является субъективным, что и обуславливает риск неполучения наилучшего результата. И тем не менее математические методы принятия решений полезны и в этом случае. Прежде всего, они позволяют заменить простой обзор матрицы выигрышей (рисков), который при большой её размерности не позволяет выбрать рациональную стратегию, последовательным численным анализом с использованием различных критериев. Это аналогично обсуждению вопроса с различных позиций (системному подходу к принятию решения).

Если решения, полученные по различным критериям, совпадают, – значит, можно смело реализовывать это решение. Если же, как это часто бывает, решения различны, необходимо проанализировать насколько к разным результатам они приводят, далее уточнить свои приоритеты к этим решениям и сделать окончательный выбор. В любых задачах обоснования экономических решений некоторый субъективизм неизбежен, и теория риска, не отменяет этого субъективизма. В неопределенности нет ничего хорошего, и при отсутствии всей необходимой для принятия решения информации никакая математическая теория не поможет в однозначном выборе оптимального решения. Поэтому приходится применять не строго оптимальные, а приемлемые рациональные решения, при обсуждении которых разные критерии обеспечивают системность подхода к процессу принятия решения. При получении какой-то новой информации принятое предыдущее решение должно пересматриваться.

Пример. Менеджер магазина заказывает некоторый товар, спрос на который лежит в приделах от 8 до 11 ед. Если заказанного товара окажется недостаточно для удовлетворения спроса, то его можно срочно заказать и завезти недостающее количество. Если же спрос будет меньше наличного количества товара, то нереализованный товар надо хранить на складе.

Требуется определить такой объем заказа на товар, при котором дополнительные расходы, связанные или с хранением или со срочным заказом, были минимальны. Расход за хранение единицы товара на складе составляет 1000 гривен, а по срочному заказу и завозу – 2000 грн.

Решение. Составим матрицу потерь, в которой покупательский спрос выступает в качестве среды (игрока В): S₁ соответствует спросу товара количеством 8 ед.; S₂ – 9 ед.; S₃ – 10 ед.; S₄ – 11 ед.

Игроком А является менеджер магазина, стратегии которого соответствуют тому же заказу товара, что и стратегии “природы”:

При решении игр с природой, иногда удобно использовать тоже правило масштаба, что при решении антагонистических игр.

Правило масштаба

При умножении всех элементов матрицы игры на любое положительное число С, или при прибавлении ко всем элементам матрицы игры одного и того же числа К, решение игры не изменится. Изменится лишь цена (результат) выбранного решения: она увеличивается соответственно в С раз, или на К. Поэтому полученную цену нужно будет делить на С или вычитать от нее К.

В нашем примере удобно исходную матрицу умножить на С  0,001.

Получим матрицу потерь вида:

Найдем решение по критериям Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица с =0,2.

Критерий Лапласа

; ;

; .

Поскольку исходная матрица – эта матрица потерь, то в соответствии с критерием Лапласа, выбираем ту стратегию, которая обеспечит , что соответствует стратегии х₃. При этой стратегии средние потери грн.

Критерий Вальда.

Получаем, что , а это соответствует стратегии х₃. При этой стратегии потери не будут больше 21000 грн.

Критерий Сэвиджа.

Пересчитаем матрицу потерь в матрицу рисков:

где ; .

В данном случае матрица рисков совпала с матрицей потерь, поскольку , . Получаем:

;

Так как , то оптимальной по критерию Сэвиджа является также стратегия х_3.

Критерий Гурвица

Применим критерий Гурвица к матрице проигрышей.

;

;

.

Так как , то оптимальной по критерию Гурвица является стратегия х_3.

Можно заметить, что по критерию Гурвица при любых значениях 1   0 оптимальной является стратегия х₃. Лишь при   0 (крайнем оптимизме = авантюризме), все четыре стратегии равнозначны.

Итак, в данном случае по всем четырем критериям оптимальной является стратегия х₃, поэтому есть все основания директору магазина заказывать 8 единиц товара.

А теперь рассмотрим пример, когда по различным критериям получаем разные решения.

Пример. Пусть матрица выигрышей имеет вид:

Какую стратегию предпочесть ЛПР?

Решение.

Справа от матрицы выигрышей записаны столбцы со следующими величинами:

, ,

позволяющие определить оптимальную стратегию по критерию Лапласа: , что соответствует стратегии х₄;

, ,

позволяющие определить оптимальную стратегию по критерию Вальда: , что соответствует стратегии х₂;

, ,

позволяющие определить оптимальную стратегию по критерию Гурвица; при =0,6, , что соответствует стратегии х₃.

Для использования критерия Сэвиджа пересчитаем матрицу выигрышей в матрицу рисков, используя соотношение

,

где , .

Получаем следующую матрицу рисков:

По критерию Сэвиджа , что соответствует оптимальной стратегии х₁.

Итак, по всем четырем критериям получились различные результаты.

Поэтому, если ЛПР очень боится малого выигрыша “8”, который может постигнуть, если выбрать стратегию х₄, следует выбрать стратегию х₂, рекомендуемую при использовании крайне осторожного критерия Вальда, при этом он гарантирует себе выигрыш не менее “22”. Если пессимизм ЛПР не так уж и велик, то он может выбрать стратегию х₃, получаемую по критерию Гурвица. Во всех случаях необходимо также использовать рекомендации по применению различных критериев, которые приведены в параграфе 4.2.

В тех случаях, когда ЛПР так и не может принять решение, требуется получить дополнительную информацию путем проведения эксперимента. С экономической точки зрения эксперимент целесообразно проводить, если затраты на его проведение не превышают выигрыша, который можно получить при более точном знании обстановки.