6.4. Операции над нечёткими множествами

Нечёткое множество является обобщением классического множества. Операции над НМ возможны тогда и только тогда, когда они определены на одном и том же универсальном множестве. Поскольку нечёткое множество полностью определяется своей ФП (она зачастую используется как синоним НМ), то операции над ним (НМ) – это операции над её ФП.

Ещё раз отметим, что ФП носит субъективный характер, хотя её часто и интерпретируют на основе понятий теории вероятностей. В рамках этой интерпретации _А(х_i) для конечного НМ понимается как вероятность того, что ЛПР относят элемент х_i к множеству А, а для бесконечного НМ _А(х) – это плотность распределения вероятностей. Так как в общем случае – для конечных НМ, а – для бесконечных НМ, то для НМ требуется разработка своего математического аппарата, отличающегося от аппарата теории вероятностей, в которой указанная нормировка должна обязательно выполняться.

Определим основные элементарные операции над НМ.

Равенство НМ. Нечёткие множества A и B считаются равными (A  B), если для всех х, принадлежащих универсальному множеству Х, выполняется условие

. (6.9)

Включение. Нечёткое множество включает в себя НМ B (B  A), если

. (6.10)

При этом говорят, что НМ A доминирует над НМ B или НМ A содержит в себе НМ B.

Пересечением двух НМ A и B называется НМ C (C  A  B), заданное на том же универсальном множестве Х, функция принадлежности которого

. (6.11)

В математической логике операция пересечения соответствует логической операции “И”.

Пример 1. Пусть А – НМ “Актив с небольшой доходностью”:

а В – НМ “Актив с доходностью, примерно равной 5”:

Найти нечёткое множество С “Актив с небольшой доходностью, примерно равной 5”.

Решение. Так как (C  A  B), то в соответствии с (6.11) получаем:

Результат операции пересечения двух бесконечных НМ показан на рис.6.5.

Объединением двух НМ A и B называется НМ C (C  A  B), заданное на том же универсальном множестве X, функция принадлежности которого

(6.12)

Результат объединения НМ показан на рис. 6.6.

Рис. 6.5. Функция принадлежности НМ C  A  B

Операция объединения НМ соответствует логической операции “ИЛИ”.

Рис. 6.6. Функция принадлежности НМ C  A  B

Разностью НМ A и НМ B называется НМ C (C  A  B), заданное на одном и том же универсальном множестве X, функция принадлежности которого

(6.13)

Функция принадлежности разности НМ показана на рис. 6.7.

Дополнением НМ A называется нечёткое множество , функция принадлежности которого

. (6.14)

Результат дополнения показан на рис. 6.8.

Рис. 6.7. Функция принадлежности НМ С  А  В

Рис. 6.8. Функция принадлежности НМ

Операция дополнения соответствует логической операции “НЕ”. Содержательно, если – НМ “Актив с небольшой доходностью”, то – “Актив с большой доходностью”.

Из указанных определений операций над НМ следует, что Ø = ; Ø = Ø; ; , где Ø – пустое множество.

Особенностью рассматриваемых операций над НМ является то, что для них  Ø,  Х.

Если – произвольные НМ, заданные на одном и том же универсальном множестве Х, операции над ними обладают следующими свойствами.

1. Коммутативность операций объединения и пересечения НМ:

.

2. Ассоциативность операций объединения и пересечения НМ:

3. Дистрибутивность операций объединения и пересечения НМ относительно друг друга:

4. Идемпотентность операций объединения и пересечения НМ:

5. Поглощение одного из НМ при операциях объединения и пересечения:

6. Инволюция (двойное дополнение) НМ:

7. Закон де Моргана:

Рассмотренные операции широко используются для задач нечёткого моделирования, и они по своему смыслу в максимальной степени приближаются к булевой алгебре. Вместе с тем приведённые определения этих операций не единственны.

Над нечёткими интервалами и числами, являющимися частным случаем нечётких величин, можно выполнять все четыре арифметические операции: сложение; вычитание; умножение и деление. Обозначим любую из этих операций знаком . Для нахождения нечёткой величины необходимо по известным ФП и найти ФП .

Для этого требуется использовать принцип обобщения, который имеет вид:

(6.15)

Здесь следует понимать таким образом, что носитель нечёткой величины получается путём выполнения соответствующей арифметической операции над всеми значениями, входящими в носители нечётких величин А и В. х_С  S_C располагают в порядке возрастания со значениями функции принадлежности, равной

Отметим, что для нечётких величин, в отличие от чётких:

А – А  0; А/А  1.

Пример. Даны два дискретных нечётких числа:

.

Для простоты НЧ будем записывать и в таком виде: , где в числителе стоит , а в знаменателе . Необходимо найти НЧ .

Решение. В соответствии с принципом обобщения (6.15) над любыми числами, входящими в носитель НЧ А и в носитель НЧ В, выполняем соответствующую арифметическую операцию. Результату этой операции присваиваем значение ФП, равное , т.е. минимальное из двух значений ФП.

Если в результате выполнения соответствующей арифметической операции над всеми числами, входящими в и , какое-то число получилось более одного раза, то ему присваивают значение ФП максимальное из всех полученных ранее минимальных значений, т.е. выполняют операцию .

Таким образом, получаем:

Пример арифметических операций над непрерывными НЧ показан на рис.6.9.

При использовании трапециевидных ФП результаты арифметических операций над нечёткими интервалами получаются следующим образом:

(6.16)

(6.17)

; (6.18)

(6.19)

где НЧ

Рис. 6.9. Функции принадлежности результатов арифметических операций над НЧ

Примечание. Операция деления нечёткой величины на нечёткую величину определена только для случая, если в носитель не входит ноль. В противном случае эта операция не определена.

Пример. Как известно, точка безубыточности находится из уравнения . Пусть А – минимально-допустимая чистая прибыль; Р – цена единицы выпускаемого товара (услуги); С – постоянные издержки и В – переменные издержки на единицу продукции являются нечёткими величинами с трапециевидными ФП вида:

.

Найти точку безубыточности.

Решение. Точка безубыточности

Так как носитель знаменателя содержит ноль, то операция деления не выполнима.

Пусть . В этом случае: