4.2.3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа

Этот критерий, также как и критерий Вальда, является критерием крайнего пессимизма, но при выборе оптимальной стратегии по критерию Сэвиджа ориентируются не на матрицу выигрышей или потерь, а на матрицу риска.

По критерию минимаксного риска Сэвиджа в качестве оптимальной выбирается та стратегия, при которой величина риска в наихудших условиях минимальна:

х_k  Х  }. (4.8.)

Сущность такого подхода состоит в том, чтобы всячески избегать большого риска при принятии решения. В смысле “пессимизма” критерий Сэвиджа сходен с критерием Вальда, но “пессимизм” здесь понимается по-другому.

Перерасчет матрицы выигрышей в матрицу рисков рассмотрен выше. Если же дана матрица потерь, то в этом случае элементы матрицы риска r_ij определяются следующим образом:

r_ij  b_ij – _j, (4.9.)

где b_ij – элементы матрицы потерь;

_j= b_ij – минимальные потери в столбце j.

Для рассмотренной в параграфе 4.2.2. матрицы потерь пересчитанная матрица рисков имеет вид:

	s1	s2
Х1	1000	0	1000
х2	0	19910	19910

В соответствии с критерием Сэвиджа:

Тогда ,

что соответствует стратегии х₁.

Как видим, в этом случае, в отличие от критерия Лапласа, минимаксный критерий, примененный к матрице потерь, и минимаксный критерий, примененный к матрице рисков, вычисленной по матрице потерь, дали различные решения.

Рекомендации. Критерий Сэвиджа следует применять при следующих обстоятельствах:

• о вероятностях различных состояний среды q_j ничего не известно;

• необходимо исключить получение результата худшего, чем min max r_j;

• результат min max r_j устраивает ЛПР.

Как и в случае использования критерия Вальда, по критерию Сэвиджа также можно найти оптимальную смешанную стратегию S, которая минимизирует максимальное среднее значение риска, вычисленное для каждого состояния среды:

 х_k  Х  r_k  max .

Оптимальная смешанная стратегия S ищется в соответствии с теорией матричных игр.

4.2.4. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица

Этот критерий рекомендует при выборе решения не руководствоваться ни крайним пессимизмом (“всегда рассчитывай на худшее!”), ни крайним, легкомысленным оптимизмом (“авось, повезет!”).

Критерий Гурвица охватывает ряд различных подходов к принятию решения: от наиболее оптимистического до наиболее пессимистичного. Согласно этому критерию оптимальная стратегия выбирается из условия

 х_k  Х  }, (4.10)

где  – весовой коэффициент, лежащий в интервале [0; 1];

a_ij – элементы матрицы прибылей (выигрышей).

При   1 критерий Гурвица превращается в критерий Вальда; при   0 – в критерий “крайнего оптимизма”. При 0    1 получается что-то среднее между этими критериями. Коэффициент  выбирается субъектом риска на основании своего опыта, склонности к риску, здравого смысла и т.д. Чем опаснее ситуация, чем больше субъект риска хочет в ней “подстраховаться!, чем меньше его склонность к риску, тем ближе к единице выбирается . При отсутствии явной склонности к риску, выбор   представляется наиболее разумным.

Пример. Дана матрица прибылей.

	s1	s2	s3	s4
Х1	5	10	18	25
Х2	8	7	8	23
Х3	21	18	12	21
Х4	30	22	19	15

Найти оптимальное решение, используя критерий Гурвица с   .

Решение:

;

;

;

.

.

Максимальное значение a_i обеспечивается применением стратегии х₄.

В случае, если исходная матрица представляет собой матрицу потерь, оптимальная стратегия в соответствии с критерием Гурвица выбирается из условия:

 х_k  Х  (4.11)

где b_ij – элементы матрицы потерь (убытков).

Если исходная матрица представляет собой матрицу рисков, то оптимальная стратегия в соответствии с критерием Гурвица выбирается из условия

 х_k  Х  (4.12)

где r_ij – элементы матрицы рисков.

При   1, критерий Гурвица превращается в критерий Сэвиджа; при   0 – в критерий “крайнего оптимизма” для матрицы рисков.

Пример. Дана матрица потерь.

	s1	s2	s3	s4
Х1	1	1	3	4
Х2	3	4	1	2
х3	3	3	2	1

Определить оптимальные решения по критерию Гурвица, используя как матрицу потерь, так и соответствующую ей матрицу рисков. Коэффициент  взять равными 1/2.

Решение. Используя соотношение (4.11), в котором вместо величин рисков необходимо подставить потери, получаем

.

что соответствует выбору стратегии х₃.

Пересчитанная из матрицы потерь матрица рисков имеет вид

	s1	s2	s3	s4
Х1	0	0	2	3
Х2	2	3	0	2
х3	2	2	1	0

Используя, соотношение (4.12), получаем

.

что соответствует выбору стратегии х₃.

Можно решить и обратную задачу; для приглянувшегося решения вычислить весовой множитель, который обеспечивает оптимальное решение по критерию Гурвица. Это значение  интерпретируется как показатель риска или соотношения “пессимизма и оптимизма”

Пример. Дана матрица выигрышей

	s1	s2
Х1	2	8
Х2	5	4

Найти решение оптимальное по Гурвицу при   0.5. И найти , при которых это оптимальное решение изменится.

Решение. В соответствии с выражением (4.10) получаем:

a₁  0,52 + 0,58  5,

a₂  0.54 + 0,55  4,5.

Тогда a_k  max (5; 4,5)  5. Следовательно, при   0.5 оптимальное решение по критерию Гурвица  х₁.

Решим обратную задачу: определим, при каком , оптимальным по Гурвицу будет решение х₂.

Для того, чтобы оптимальной по Гурвицу было решение х₂, необходимо выполнение неравенства:

2 + (1 – )8  4 + (1 – )5.

Из этого неравенства получаем, что  х₂ ,если   0.6.

Рекомендации. Критерий Гурвица следует применять в случае:

• когда о вероятностях состояния среды ничего неизвестно;

• реализуется лишь малое количество решений;

• допускается некоторый риск.