6.8. Примеры использования теории нечётких множеств в задачах принятия решений

Приведём несколько иллюстративных примеров применения теории нечётких множеств в задачах принятия решений.

Пример 1. Оценка валютного риска коммерческих операций. Компания продала за границу товара за иностранную валюту на сумму 300 тыс. грн. На момент отгрузки курс гривна/доллар был равен 5. Операция будет оплачена через два месяца, когда курс станет равным A, где нечёткая величина A с трапециевидной ФП: A = 4,8; 5,1; 5,2; 5,3. Необходимо определить валютный риск, как сумму недополученных долларов и сравнить эту коммерческую операцию с другой, когда компания купила за границей товар на сумму 150 тыс. грн., оплата за который будет через два месяца в момент доставки товара.

Решение. На момент продажи проданный товар стоил $ 60 тыс..

На момент оплаты компания получит:

$ тыс.

Потери компании составят:

$ тыс.

При второй коммерческой операции компания заплатит за товар сумму:

$ тыс.

Если бы оплата производилась в момент покупки, то компания должна была бы заплатить $30 тыс.

Выигрыш компании составит:

$ тыс.

Таким образом, вторая коммерческая операция сопряжена со значительно меньшим валютным риском, чем первая операция.

Пример 2. Оценивание денежных средств в бюджете.

Фирма имеет доходы от трёх активов. От первого актива фирма получает гарантированный и точный доход $10 тыс., от второго актива можно ожидать доход размером от $5 до 20тыс., но наиболее достоверная величина от $8 до 12 тыс. Наконец, третий актив может дать доход от $11 до 15 тыс. Но, скорее всего, доход от него будет равен $12 тыс. Требуется определить суммарный доход от трёх активов.

Решение. Доходы от активов можно представить в виде нечётких величин с функциями принадлежности, показанными на рис. 6.16.

Суммарный доход А = А₁ + А₂ + А₃.. В соответствии с принципом обобщения функция принадлежности нечёткой величины A равна: A = 26; 30; 34; 45.

Рис. 6.16. Функции принадлежности нечётких доходов А_i,

Пример 3. Консалтинговая система выбора профессии.

Дано множество X возможных профессий. Пусть универсум X состоит из трёх элементов: x₁ – “менеджер”; x₂ – “финансист”; “маркетолог”. Универсум Y, определяющий качества, необходимые для различных специалистов, состоит из 5 элементов: y₁ – “память”, y₂ – “комму­никабельность”, y₃ – “решительность, склонность к риску”, y₄ – “математические способности”, y₅ – “физическая выносливость”.

Матрица ФП бинарного нечёткого отношения R, построенного на универсумах X и Y, имеет вид:

.

Имеются четыре абитуриента , выбирающие профессию из множества X, качества которых определены по шкале :

.

Необходимо дать советы абитуриентам по выбору будущей профессии.

Решение. Выполним нечёткую композицию с нечёткими отношениями R и Q. Получим:

.

Значение получено путём формального умножения i-ой строки матрицы _R на j-ый столбец матрицы _Q. Далее из каждой пары чисел выбирается минимальное, а максимальное из полученных чисел заносится в соответствующую клетку матрицы _RQ.

Таким образом, первому абитуриенту (z₁) можно смело выбирать профессию менеджера или профессию финансиста; второму – профессию менеджера; третьему – маркетолога; четвёртому – менеджера.

Возможна и альтернативная операция композиции двух бинарных нечётких отношений, при которой:

. (6.43)

В соответствии с 6.43 из соответствующих элементов матриц _R и _Q выбирается вначале не минимальное значение, а производится их математическое перемножение, а далее из полученных чисел выбирается максимальное. Для рассматриваемого примера в случае альтернативной операции композиции:

.

Как видим и в этом случае, рекомендации абитуриентам не изменились, хотя отдельные элементы могут быть и иными. В соответствии с рекомендациями прикладного системного анализа, если различные модели или алгоритмы приводят к одинаковым результатам, то это даёт большие основания считать полученные решения правильными.

Пример 4. Выбор проекта. Компания может инвестировать капитал A в предприятие 1 и капитал B в предприятие 2. Капитал A и B являются нечёткими величинами с ФП вида:

Ожидаемая доходность (%) определяется нечёткими отношениями с функцией принадлежности для обоих случаев одинаковой и задаваемой следующей матрицей:

.

Определить в каком предприятии инвестирование предпочтительнее?

Решение. Доходность C от инвестированного капитала A равна:

Итак, .

Доходность D от инвестирования капитала B равна:

Итак, .

Функции принадлежности нечётких доходностей C и D представлены на рис. 6.17.

Рис. 6.17. Функции принадлежности нечётких доходностей C и D

Для сравнения проектов C и D используем индекс несовпадения конечных нечётких множеств (6.34):

Таким образом, НЧ С и D незначительно отличаются друг от друга.

Пример 5. Нечёткая система управления числом работающих касс в супермаркете.

Опыт управления числом работающих касс в супермаркете позволяет сформулировать следующие эвристические правила:

1. Если число покупателей x очень велико, то следует существенно увеличить число работающих касс y.

2. Если x велико, то следует немного увеличить число работающих касс y.

3. Если x обычное, то y не следует изменять.

4. Если x мало, то следует на немного уменьшить y.

5. Если число x очень мало, то следует существенно уменьшить y.

Информацией, которая поступает на вход нечёткой системы управления, является число покупателей x.

Нечёткие системы управления числом y предназначены для преобразования x в y на основе нечётких алгоритмов, т.е. таких алгоритмов, в которых используются нечёткие множества, нечёткие отношения.

Первым этапом построения нечёткой системы управления является задание лингвистических переменных, характеризующих входную переменную x и выходную переменную y. Этот этап называется фазификацией (fuzzification), то есть введением нечёткости.

Проведём фазификацию входной переменной “Число покупателей”. Для чего используем лингвистическую переменную П “Число покупателей” с пятью термами: П₁ – “Число покупателей очень мало”; П₂ – “Число покупателей мало”; П₃ – “число покупателей обычное”; П₄ – “число покупателей велико”; П₅ – “Число покупателей очень велико”. Число термов П_i может быть и другим.

Пусть на основе опыта (экспертного опроса) для данного супермаркета функции принадлежности имеют вид, представленный на рис. 6.18.

Проведём фазификацию выходной переменной y. Для чего используем лингвистическую переменную K – “Потребное число работающих касс” с пятью термами: K₁ – “Значительное уменьшение числа работающих касс”; K₂ – “Незначительное уменьшение числа работающих касс”; K₃ – “Число работающих касс практически не изменяется”; K₄ – “Число работающих касс должно незначительно увеличиться”; K₅ – “Число работающих касс должно значительно увеличиться”.

Функции принадлежности лингвистической переменной “Количество работающих касс” показаны на рис. 6.19.

Рис. 6.18. Функции принадлежности лингвистической переменной “Количество покупателей”

Пусть число покупателей в момент времени t₁ равно 68. Система управления должна вырабатывать чёткое число потребного количества работающих касс.

Рис. 6.19. Функции принадлежности лингвистической переменной K “Потребного числа работающих касс”

Для этого вначале определяется ФП термов лингвистической переменной П “Количество покупателей”. Для случая х  68 имеем:

.

Таким образом, число покупателей х  68 относится к терму П₃ с функцией принадлежности, равной 0,2 и к терму П₄ с ФП, равной 0,8. То есть число покупателей скорее большое, чем обычное.

Поскольку в соответствии с эвристическими правилами, при числе покупателей, соответствующих терму П₃ число касс должно соответствовать терму К₃, а при числе покупателей, соответствующих терму П₄ – терму К₄, то для определения нечёткого числа В, соответствующего потребному числу работающих касс, проводим на уровнях 0,2 для и 0,8 для прямые (рис.6.20).

Рис. 6.20. Определение нечёткого количества B работающих касс

Объединяя результаты, полученные по термам К₃ и К₄, получаем ФП нечёткого числа В, потребного количества работающих касс при числе покупателей х  68:

На последнем этапе проводится дефазификация (defuzzification) нечёткого числа В.

Для выполнения дефазификации могут быть использован метод центра тяжести или метод центра площади.

Для нашего примера, используя метод центра тяжести, получаем:

Если использовать метод центра площади, то получим y₀  12,625.

Таким образом, при числе показателей х  68, нечёткая система управления, определяет, что необходимое число работающих касс должно быть равны 13.