6.9. Нечёткие игры

Нечёткие игры – это игры, в которых ситуации оцениваются нечёткими числами. Рассмотрим нечёткие матричные и биматричные игры, модели которых наиболее адекватны задачам принятия решений в конфликтных экономических ситуациях.

А. Нечёткие матричные игры

Математическая модель нечётких матричных игр представляет собой платёжную матрицу a_ij, в которой элементы a_ij – нечёткие числа. Алгоритмы решения нечётких матричных игр остаются такими же, как и для матричных игр с чёткими элементами платёжной матрицы, но при этом возникают три основные проблемы:

• полученные оптимальные смешанные стратегии состоят из нечётких относительных частот, а их реализация требует точных значений;

• при нахождении оптимальных смешанных стратегий возможны случаи деления на нечёткое число, содержащее в своём носителе ноль, а эта операция над нечёткими числами не определена;

• возможно, что носитель нечётких частот полученных смешанных стратегий будет выходить за интервал 0; 1, что лишено физического смысла.

Возникающие проблемы могут быть разрешены способами, которые применены в следующих примерах.

Пример. Решить матричную игру 2  2, элементы платёжной матрицы которой являются нечёткими числами с трапециевидными функциями принадлежности: a₁₁  4; 5; 5; 6; a₁₂  1; 2; 2; 3; a₂₁  2; 3; 4; 5; a₂₂  6; 7; 8; 9.

Решение. Применим те же алгебраические формулы, что и для решения обычных матричных игр (2  2):

Последовательно выполним все операции над нечёткими числами:

Так как НЧ не содержит в своём носителе, то операция деления на этот НЧ допустима.

Получаем

Так как носители нечётких интервалов p и q вышли за интервал 0; 1, ограничиваем их, исходя из условия физической реализуемости:

,

где

Проводя дефазификацию нечётких чисел p и q по методу центра площади ФП, получаем

Таким образом, S_A  0,61; 0,39; S_B  0,72; 0,28, а цена матричной игры

Необходимо отметить, что при дефазификации нечётких частот возможен случай, при котором частоты оптимальных смешанных стратегий игроков не будут удовлетворять условию нормировки: . В этом случае можно реализовать смешанные стратегии, не отвечающие условию нормировки или же провести нормализацию чётких чисел, полученных в результате дефазификации:

Пример. Пусть в результате решения нечёткой матричной игры оптимальная смешанная стратегия игрока A равна

,

где – нечёткие числа. Определить чёткую смешанную стратегию, отвечающую условию нормировки .

Решение. Вначале проводим дефазификацию методом центра площади ФП. Получим Так как , то проводим нормализацию:

Для избежания проблемы деления на НЧ, содержащее в своём носителе ноль, предлагается решать матричную игру итерационным методом Брауна-Робинсон, использование которого потребует выполнения только операций сложения и сравнения нечётких чисел.

Пример. Решить нечёткую матричную игру, в которой элементы платёжной матрицы имеют треугольные ФП: ; ; ; .

Решение. Так как НЧ содержит в своём носителе ноль, то использовать алгебраически формулы для расчёта и нельзя.

Для решения нечёткой матричной игры используем метод Брауна-Робинсон (для иллюстрации возьмем всего лишь 10 итераций):

1) 2) 3)

1) 4) 5) 6)

2) 7) 8) 9)

3) 10)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Подставим относительное количество чистых стратегий, которые использовал каждый из игроков (количество стратегий, обозначенных ), получим, что оптимальные смешанные стратегии игроков будут равны

,

а цена игры

Дефазифицировать цену игры нецелесообразно, поскольку нечёткая величина несёт о цене игры большую информацию, чем результат дефазификации.

Б. Нечёткие биматричные игры

Для нахождения оптимальных по Нэшу решений нечётких биматричных игр необходимо решать системы нечётких неравенств. При этом также могут возникнуть неопределённые в теории нечётких множеств операции деления на нечёткие числа, содержащие в своём носителе ноль.

Для разрешения этой проблемы предлагается использовать тот факт, что для реализации оптимальных по Нэшу решений каждый из игроков должен действовать по принципу: “Не важно, какой результат получу я, главное, чтобы противник получит наихудший для него результат”. При этом оптимальная стратегия игрока A определяется лишь платёжной матрицей игрока B, а для игрока B – платёжной матрицей игрока A. Таким образом, можно решить две нечёткие матричные игры с платёжными матрицами и . Оптимальная по Нэшу стратегия для игрока A будет найдена из решения матричной игры с матрицей , а из решения матричной игры с матрицей – будет найдена оптимальная стратегия для игрока B.

Решения двух матричных игр, во избежание возможных операций деления на числа, содержащие в своём носителе ноль, вновь предлагается искать методом Брауна-Робинсон.

После дефазификации нечётких смешных стратегий S_A и S_B (а при необходимости и их нормализации) находится цена игры для игрока A:

,

и игрока B:

.

В заключение отметим, что для упрощения нечётких игр можно не учитывать доминируемые и одну из каждой пары дублирующих стратегий, и каждую нечёткую матричную игру можно привести к паре двойственных задач нечёткого линейного программирования.

Недостатком применения метода Брауна-Робинсон для решения биматричных игр является то, что таким образом находится лишь одно оптимальное по Нэшу решение, а таких решений (в чистом виде) может быть, в общем случае, несколько.