2.4. Формула четырех сомножителей.

Для вывода формулы используем подход п. 1.2, т.е. проследим судьбу вторичных нейтронов, рождающихся при распаде ядер делящегося вещества. Размножающая среда состоит из замедлителя, поглотителя и ядерного топлива, причем ядерным топливом может быть смесь порогового и беспорогового изотопов, например ²³⁵U и ²³⁸U. Полагаем, что среда «бесконечная» и гомогенная.

Судьбу нейтронов одного поколения иллюстрирует круговая диаграмма, изображенная на рис. 2.9

В процессе деления рождаются нейтроны, энергия которых может быть больше и меньше порога деления ²³⁸U. Нейтроны с энергией Е, большей порога деления ²³⁸U, вызывают деление ядер последнего. Таким образом, число нейтронов с энергией ниже порога деления будет больше числа первоначально родившихся нейтронов за счет деления ядер ²³⁸U нейтронами с энергией Е>Е_пф1 МэВ. Это увеличение числа замедлившихся нейтронов в результате размножения на быстрых нейтронах характеризуется коэффициентом , равным числу быстрых нейтронов, которые замедлились до энергии ниже порога деления ²³⁸U, отнесенному к одному быстрому нейтрону, появившемуся при делении ²³⁵U тепловыми нейтронами. Если предположить, что в размножающей среде число нейтронов от деления ²³⁵U есть j, то за счет деления ²³⁸U быстрыми нейтронами j возрастает до значения j. Эти j нейтронов, сталкиваясь с ядрами среды, замедляются до энергий ниже порога деления. В процессе замедления часть нейтронов претерпевает радиационный захват ядрами ²³⁸U, не достигнув тепловой энергии. Радиационный захват нейтронов характеризуется коэффициентом р -вероятностью того, что быстрый нейтрон в процессе замедления избежит радиационного захвата.

Рис. 2.9. Иллюстрация к формуле четырех сомножителей

Захват надтепловых нейтронов при замедлении носит специфический характер. В этой области энергий сечение захвата ядер со средними и большими массовыми числами имеет ярко выраженную резонансную структуру (см. п. 3). Поэтому коэффициент р еще называют вероятностью избежать резонансного захвата. Захват на легких ядрах замедлителя в этой области энергии ничтожно мал и в формировании р не играет никакой роли.

Таким образом, до тепловой энергии замедляется pj нейтронов. Но даже тогда, когда нейтроны стали тепловыми, не все они поглотятся в уране. Часть их будет захвачена ядрами замедлителя, и только pfj нейтронов будет захвачено ядрами делящегося вещества.

Коэффициент f есть вероятность захвата теплового нейтрона делящимся веществом; его называют коэффициентом использования тепловых нейтронов. На каждый нейтрон (из числа pfj), поглощенный в уране, родится  нейтронов, причем  учитывает тот факт, что не каждый нейтрон, поглощенный делящимся веществом, приведет к делению: возможен радиационный захват нейтрона.

Если пренебречь делением ²³⁵U на замедляющихся нейтронах, то во втором поколении число нейтронов возрастет до значения pfj. Отношение числа нейтронов второго поколения к числу нейтронов первого поколения называется (см. п. 1.2) коэффициентом размножения k. Поскольку среда «бесконечная» и однородная, то k=k_:

k_=pfj/j=pf (2.1)

Это выражение называется формулой четырех сомножителей для k_⁶. Формула четырех сомножителей описывает размножение нейтронов в сильно замедляющей среде, когда основная доля делений приходится на тепловые нейтроны. Следовательно, она служит для описания размножения нейтронов в реакторе на тепловых нейтронах.

Для реакторов на быстрых или промежуточных нейтронах параметры p,f теряют свой исходный смысл. Поэтому при рассмотрении таких реакторов применяют другие выражения для k_.

Во всяком реальном реакторе существует сложный спектр нейтронов, энергия которых простирается от 15 Мэв до сотых долей электронвольта и ниже. Однако рассмотрению цепных процессов размножения нейтронов в реальном полиэнергетическом реакторе (с учетом спектра) удобно предпослать анализ процесса размножения в идеализированном моноэнергетическом реакторе (скорость нейтрона одинакова), так как в этом случае получится простая картина, основные качественные черты которой сохраняются и для более сложных процессов размножения.

Для моноэнергетического реактора формула (2.1) вырождается в формулу двух сомножителей:

k_=f (2.2)

Однако легко представить себе ситуацию, когда формула (2.2) пригодна и для полиэнергетического реактора (с учетом спектра). Анализу следствий формулы (2.2) предпошлем следующее замечание.

Формулу (1.10) полученную в п. 1.5 можно рассматривать в качестве способа вычисления коэффициента размножения «бесконечного» однородного моноэнергетического реактора, содержащего только ядра U-235 (k=k_). Тогда из (1.10) (с учетом определения (1.7)) получаем

Здесь индекс наверху в скобках обозначает массовое число ядра U-235. Аналогичную индексацию будем использовать и далее. Например, (⁽⁸⁾, ⁽⁸⁾) относится к U-238, а ( ⁽⁹⁾,  ⁽⁹⁾) относится к Рu-239.

Правая часть полученного выражения представляет собой первый сомножитель  в формулах (2.1) и (2.2). Поэтому можно сказать, что в случае «чистого» делящегося вещества формула четырех сомножителей сводится к одному сомножителю, т.е.

Это соотношение дает количественную оценку сомножителя  и подчеркивает указанный факт, что не каждый поглощенный делящимся веществом нейтрон приведет к делению: возможен радиационный захват ( ).

После этого замечания рассмотрим как «отрабатывает» формула двух сомножителей (2.2) при добавлении к делящемуся веществу замедлителя.

Для примера вычислим k_, размножающей однородной среды, которая представляет собой смесь D₂O и ²³⁵U. Чтобы пользоваться формулой четырех сомножителей, нужно быть уверенным, что в размножающей среде формируется характерный спектр реактора на тепловых нейтронах, основная доля делений в котором происходит на тепловых нейтронах. Это обеспечивается высокой степенью разбавления ²³⁵U замедлителем (примерно 10⁴ ядер замедлителя на одно ядро ²³⁵U). При отсутствии ²³⁸U =1, р~1.

Тогда получается формула (2. 2)

(2.2а)

Здесь учтены данные только для тепловых нейтронов, поскольку размножением на замедляющихся нейтронах в этом случае можно пренебречь.

Подставляя в (2.2а) =2,47; =584 барн, =692 барн, получаем

(2.2б)

По определению, f равно отношению скорости захвата в U к полной скорости захватов в размножающей среде с потоком тепловых нейтронов Ф:

(2.2в)

где (индекс «зам» относится к замедлителю). В нашем случае

Сечение захвата в тяжелой воде весьма мало ( барн). Поэтому даже при С30 000 получаем

(2.2г)

(f близко к единице). Самоподдерживающаяся цепная реакция может реализоваться лишь при условии k_>1, так как только в этом случае нейтронов второго поколения будет больше, чем нейтронов первого, что и выполняется в нашем случае.

Понятие моноэнергетического реактора позволяет установить некоторые основные закономерности, связанные со спецификой реакторов на быстрых и тепловых нейтронах. На спектре нейтронов деления (медианная энергия равна ~2 Мэв), усредненные над порогом деления ²³⁸U сечения и числа v_f, имеют следующие примерные значения:

(2.2д)

В смеси изотопов ²³⁵U и ²³⁸U число  определяется формулой

где . В природном уране с⁽⁵⁾ = 0,0072, с⁽⁸⁾= 0,9928. Пусть надо проверить, возможна ли самоподдерживающаяся цепная реакция под действием нейтронов деления в природном уране. Для этого достаточно вычислить число . Поскольку в этом случае с⁽⁵⁾<<1, то

.

Казалось бы, отсюда вытекает возможность получения самоподдерживающейся цепной реакции в чистом ²³⁸U. Однако это не так, потому что не учтен сильный эффект неупругого замедления в ²³⁸U, при котором нейтрон деления замедляется главным образом ниже порога деления ²³⁸U, где деление уже невозможно. Учесть этот эффект можно грубо, принимая, что каждый неупруго рассеянный нейтрон выходит из рассмотрения, т.е. сечение неупругого рассеяния рассматривать как сечение захвата. Тогда, учитывая, что 2,1 барн, получаем

откуда немедленно следует отрицательный ответ: цепная реакция на быстрых нейтронах в естественном уране невозможна. Точный расчет подтверждает этот результат.

²³⁵U является беспороговым по отношению к делению, и для него . Следовательно, в чистом ²³⁵U или в уране, сильно обогащенном этим изотопом (с⁽⁵⁾> 0,25), самоподдерживающаяся цепная реакция возможна и может быть реализована или в урановой бомбе, или в реакторе на быстрых нейтронах.

Другая ситуация возникает, если рассчитать  для тепловых нейтронов и природного урана. В этом случае ²³⁸U не делится и

Для тепловых нейтронов⁷

(2.2е)

Сечения ²³⁵U здесь на два порядка больше сечения ²³⁸U. Отсюда следует:

=2,55840,0072/(6920,0072+2,70,993)=1,34.

Это означает, что при определенных условиях самоподдерживающаяся цепная реакция в естественном уране может быть реализована в реакторе, работающем на тепловых нейтронах. Отсюда и возникает идея нейтронного цикла, представленного на рис. 2.9. Чтобы реактор на тепловых нейтронах работал на природном уране, необходимо его сконструировать так, чтобы для природного урана выполнялось условие . Если активная зона гомогенная (например, раствор урана в замедлителе), то цепная реакция возможна лишь в том случае, когда замедлителем является D₂O. В гетерогенной активной зоне, где уран сосредоточен в блоках, периодически расположенных в замедлителе, применяется более широкий круг замедлителей, в сочетании с которыми можно использовать природный уран (D₂O, графит). Если замедлитель - легкая вода, то уран может быть только обогащенным до 1,5-5%.

Последнее следует из применения формулы (1.14) для расчета К_ бесконечной гетерогенной среды с учетом пространственно-энергетического спектра нейтронов. Расчет показывает, что коэффициент размножения бесконечной гетерогенной среды, составленной из блоков ядерного топлива слабого обогащения в легкой воде больше соответствующего коэффициента размножения гомогенной среды такого же состава, когда ядерное топливо в блоках равномерно перемешано с замедлителем (легкой водой).

Объяснить это явление можно, по-прежнему, формулой четырех сомножителей (2.1). Для этого следует иметь представление о характерных особенностях пространственно-энергетического распределения потока нейтронов Ф(х, у, z, E) (спектре нейтронов) в такой гетерогенной среде.