2.4 Растяжение и сжатие, смятие и сдвиг

2.4.1 Растяжение (сжатие)

Растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном (перпендикулярном оси) сечении стержня возникает только продольная растягивающая (сжимающая) сила. Модель растягиваемого стержня широко используется в расчетах болтов, ремней передач, стержней ферм, лопаток турбин и др. Для определения величины продольной силы F_z используют метод сечений (рисунок 2.12).

Рисунок 2.12

Продольная сила F_z, приложенная в центре тяжести произвольного сечения стержня, является равнодействующей внутренних сил dF_z = dА, действующих на бесконечно малые площадки поперечного сечения площадью А: F_z =dА.

^А

Из этого уравнения нельзя найти закон распределения нормальных напряжений по поперечному сечению. Однако, если предположить, что в пределах действия закона Гука плоские поперечные сечения стержня смещаются при растяжении параллельно начальным положениям, оставаясь плоскими, то нормальные напряжения во всех точках сечения должны быть одинаковыми, т.е. = const, тогда F_z = А и  = F_z /А.

Таким образом, нормальное напряжение в поперечном сечении стержня при растяжении равно отношению продольной силы к площади сечения.

При сжатии стержня напряжения имеют отрицательный знак: нормальная сила направлена в тело стержня. Нормальные напряжения в элементах конструкций не должны превышать допускаемые напряжения:

 = F_z / А  [].

Данное условие прочности при растяжении позволяет решать задачи расчета элементов конструкций на прочность:

1) при известных размерах поперечного сечения детали А и известном допускаемом напряжении [] определяют допускаемые нагрузки: F А [];

2) определяют площадь поперечного сечения по заданной силе и допускаемому напряжению: А  F_z /[], например, для круглого сечения: ;

3) при известной силе и площади поперечного сечения детали определяют напряжения и проверяют, не превышают ли они допускаемые:

= F_z /А [].

Итак, напряжения при растяжении (сжатии)  = F_z /А. С другой стороны, согласно закону Гука в пределах малых деформаций напряжения прямо пропорциональны вызываемой ими относительной деформации  = Е₁. Так как относительная деформация  = l/l_о, тогда F_z /А = E l/l_о, откуда l = F_z l_o/(АЕ). То есть, в пределах малых деформаций абсолютное продольное удлинение прямо пропорционально силе F_z и первоначальной длине стержня l_o и обратно пропорционально модулю упругости Е и площади поперечного сечения А. Произведение ЕА называется жесткостью сечения стержня при растяжении (сжатии).

В некоторых случаях при работе конструкции на сжатие работоспособность ее определяют не величиной допускаемой нагрузки или допускаемого напряжения, а величиной допускаемой деформации. В том случае находят фактическое абсолютное удлинение и сопоставляют его с допускаемым [l], такие расчеты называются расчетами на жесткость:

l = F_z l/(EА)  [l] - сосредоточенная нагрузка или

l =q l²/(2EА) [l] - распределенная нагрузка.

Опыты показывают, что удлинение стержня в осевом направлении при растяжении сопровождается уменьшением его поперечных размеров, т.е. наряду с продольной возникает поперечная деформация стержня:

₂ = -b/b_o, где b = b_o-b₁, b – ширина стержня. Знак минус показывает, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются. Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, называют коэффициентом Пуассона  = |₂ /₁| откуда ₂ = - ₁ учитывая, что ₁ = /Е, то ₂ = - /Е.

На основе опытных данных:

- для сталей  = 0,25 - 0,3;

- для алюминиевых сплавов  = 0,3 - 0,35;

- для медных сплавов  = 0,35.