2. Определение критических напряжений

Под действием критической нагрузки F_кр в поперечных сечени­ях стержня возникают нормальные напряжения, которые называют так­же критическими.

т.к

- минимальный радиус инерции поперечного сечения.

Обозначим - безразмерная величина, которую назы­вают гибкостью стержня, характеризующей его способность со­противляться искривлению в зависимости от размеров и способа закрепления стержня.

.

Критическое напряжение зависит от упругих свойств материала Е и гибкости λ. Чем больше гибкость λ, тем меньше , тем меньше сжимающая сила, чтобы вызвать продольный изгиб стержня.

2. Пределы применимости формулы Эйлера

При выводе формулы предполагали, что деформации в стержне только упругие, т.е. - предела пропорциональности и

Отсюда - наименьшее (предельное) значение гиб­кости, при котором формула Эйлера еще применима.

Формула Эйлера применима если:

Например, для стержней из стали Ст 3: Е = 2,15 · 10⁵ Н/мм², 200 Н/мм², тогда предельная гибкость равна:

Например, для чугуна для сосны

Если гибкость стержня меньше предельного значения, то пользо­ваться формулой Эйлера нельзя, т.к. в этом случае получаем завы­шенные значения критической силы и, следовательно, действитель­ная устойчивость стержня переоценивается.

В этих случаях пользуются эмпирическими зависимостями, на­пример, формулой Ясинского Ф.С.:

где значения а, b - приводятся в таблицах.

Размерность а и b - Н/мм², например,

а = 310 Н/мм² и b = 1,14 Н/мм² для Ст 3 при 40 < < 100.

Критическая сила в этом случае определяется:

2. Практические расчеты на устойчивость

Допускаемое напряжение при расчете на прочность равно:

(2.27)

где - предел текучести; п - коэффициент запаса прочности.

Допускаемое напряжение на устойчивость

(2.28)

где - критическое напряжение;

n_y - коэффициент запаса устойчивости.

Коэффициент запаса устойчивости: - для стальных и - для чугунных стержней.

Установим связь между допускаемыми напряжениями и :

Обозначим

или (2.29)

где φ- коэффициент продольного изгиба или коэффициент уменьше­ния допускаемых напряжений.

Величина φ зависит от материала и гибкости стержня и приводится в таблицах.

Условие устойчивости

С учетом (2.29) можно записать окончательно:

(2.30)

Для стержней из сталей Ст 2, Ст 3, Ст 5, 10ХСНД, 10Г2С1 и др. средние значения λ и φ следующие:

λ... 10 20 40 60 80 100 120 140 160

φ... 1 0,95 0,9 0,8 0,65 0,5 0,35 0,3 0,25

Проверка сжатых стержней на устойчивость не исключает про­верки на прочность для чистого сжатия.

При проектном расчете из условия устойчивости (2.30) опреде­ляют площадь сечения:

(2.31)

Для подбора сечений стержней, работающих на продольный из­гиб, применяют метод последовательных приближений.

Задаемся величиной коэффициента φ (обычно 0,5 - 0,6).

Из формулы (2.31) определяем площадь по первому вычисле­нию. По минимальному моменту инерции находим радиус инерции и гибкость

По таблицам для этой гибкости уточняем величину коэффици­ента продольного изгиба φ.

Подставляем значение φ в условие устойчивости.

Находим расчетные напряжения на устойчивость:

Если расчетное значение напряжения отличается от допускаемо­го больше, чем на (+10%), (-5%), то сечение соответственно надо, либо увеличить, либо уменьшить и вновь повторить проверку.