5.6. Непрерывное и дискретное представление денежных потоков

До сих пор мы говорили о денежных потоках, об отражаемых в них результатах и затратах, но нигде не упоминали о том, в какой форме должны представляться сами эти потоки. А таких форм две — непрерыв­ная и дискретная. Практические расчеты эффективности обычно выпол­няются при дискретном представлении денежных потоков. Но тогда за­чем же упоминать о какой-то другой, к тому же почти не используемой на практике, форме? Чтобы ответить на этот вопрос, вначале приведем при­мер. Многие из вас имеют представление об оптимизационных задачах, например о задаче формирования оптимальной производственной про­граммы предприятия, которая обычно рассматривается как задача линей­ного программирования. Для подобных задач имеется большое количе­ство машинных программ и не требуется больших усилий, чтобы ввести исходные данные в компьютер и получить оптимальное решение. Поло­жение в корне изменится, как только мы дополнительно потребуем, что­бы решение задачи было целым числом, а оптимальная программа про­изводства не предусматривала выпуск 2,5 изделия и затрат труда 3,2 человека. Подобные задачи оказываются чрезвычайно трудными для решения, а предлагаемые методы (кроме полного перебора всех возможных комбинаций) не дают гарантии получения действительно наилучше­го результата. Поэтому на практике обычно стараются не накладывать ограничений на целочисленность и пренебрегают связанными с этим ошибками (это оправдано, если предприятие достаточно большое).

В общем же случае представление показателей и процессов как не­прерывных позволяет выявить наиболее существенные их свойства и особенности, а также определить допустимую степень дискретизации, дробления процесса на отдельные части (пример описания инвестици­онного проекта непрерывной моделью для выявления допустимых гра­ниц изменения некоторых его параметров приведен в п. 16.5А, см. так­же примеры 6.7, 12.18 и 12.27). Именно по этой причине мы начнем рассмотрение с непрерывной модели денежных потоков.

Как уже отмечалось, инвестиционный проект имеет свое начало (момент времени t = 0) и конец (момент времени t = 7). Тогда рассмат­риваемый денежный поток можно охарактеризовать функцией Ф(0, от­ражающей эффект, исчисленный накопленным итогом¹ от начала про­екта до момента t. Эта функция не обязательно непрерывна. Так, в момент поступления выручки за очередную партию продукции значение функ­ции Ф скачкообразно увеличится на величину, равную поступившей вы­ручке, а в момент оплаты очередной партии сырья или внесения арен­дной платы — уменьшится на размер платежа. Однако если подобные платежи осуществляются достаточно часто и каждый платеж невелик, то указанными скачками можно пренебречь и рассматривать функцию Ф как непрерывную. Зато если проект предусматривает кредиты, то зна­чения функции Ф будут скачкообразно увеличиваться в моменты полу­чения и погашения займов, и пренебрегать такими скачками уже нельзя. В общем случае описание денежного потока, основанное на разбие­нии расчетного периода на отдельные интервалы времени (шаги), мы называем дискретным, а описание того же потока через функции от непрерывно меняющегося времени — непрерывным. Иными словами, понятие непрерывности денежного потока Ф(t) относится здесь не к функции Ф (которая может быть и разрывной), а к аргументу — времени, которое рассматривается как непрерывно меняющееся. В частности, в реальном проекте, например, после ввода предприятия в эксплуатацию и при отсутствии расчетов по кредитам и депозитам денежный поток мо­жет описываться непрерывной функцией времени. Тем не менее оценка эффективности такого проекта может производиться исходя из разбие­ния расчетного периода на шаги, т. е. из дискретного представления это­го денежного потока. Тем самым антонимом к слову "непрерывный" в данной ситуации будет "дискретный", а не "разрывный".

Рассмотрим непрерывное представление денежного потока, у кото­рого функция накопленного эффекта Ф — гладкая, т. е. имеет непрерыв­ную производную. Тогда на протяжении малого отрезка времени (t, t + Δt) денежный поток изменится на величину Ф(t + Δt) – Ф(t) = Ф’(t) Δt. Производная Ф'(t) при этом выражает интенсивность (скорость возрастания, плотность) денежного потока, роста денежных поступлений за малую единицу времени.

В этой связи отметим, что в отличие от чистой математики, где фун­кция и ее производная имеют разные названия, в экономике при рас­смотрении процессов в непрерывном времени это правило иногда не соблюдается. Приведем несколько, на наш взгляд, удобных сокращений такого рода. Допустим, что накопленный поток прибыли по проекту от начала проекта до момента t выражается функцией П(t). Тогда за малый отрезок времени (t + Δt) прибыль по проекту составит П’(t) Δt. Величи­ну П’(t) при этом правильно называть интенсивностью прибыли или скоростью ее поступления. Однако экономисты поступают иначе. Они считают, что отрезок Δt — это малая единица времени (час, смена), и называют П’(t) прибылью за малую единицу времени. В дальнейшем, если получаемые выводы распространяются на более длинные интерва­лы, то они могут принять эту малую единицу за большую и, скажем, ис­пользовать для расчета данные не за смену, а за год. Поэтому термины типа "интенсивность", "скорость" в экономике обычно не употребляют­ся. Иногда используется и иная терминология. В рассмотренной ситуа­ции П’(t) Δt выражает прирост общей суммы прибыли предприятия. Поэтому для обозначения П’(t) может использоваться и термин "приро­стная прибыль", или "прирост прибыли за малую единицу времени". Наконец, по определению, П’(t) отражает все-таки предел отношения прироста прибыли за малый отрезок времени к длительности этого отрезка при неограниченном уменьшении последней. На этом основа­нии тот же показатель может именоваться как предельная прибыль или маржинальная прибыль (marginal profit) — в литературе все эти термины часто встречаются.

При непрерывном представлении денежных потоков особенно на­глядным становится влияние лагов. Действительно, пусть вначале ника­ких лагов нет, а поток поступлений от продажи продукции задается функцией П’(t). Тогда если оплата продукции будет происходить с задер­жкой Θ, то график потока поступлений сдвинется "вперед во времени" на величину задержки и сам поток будет описываться функцией П(t – Θ). Наоборот, при предоплате продукции график будет сдвигаться "назад во времени" (при дискретном представлении денежных потоков таких простых преобразований уже не будет).

При дискретном описании денежного потока период реализации проекта разбивается на отдельные интервалы времени — шаги. Ниже мы дадим практические рекомендации по количеству и продолжитель­ности таких шагов, а пока будем считать их не слишком большими (квар­тал, полугодие). Каждый n-й шаг (нумерацию шагов удобно начать с 0) при этом характеризуется своим началом (t_n, продолжительностью (Δ_n) и эффектом Ф_n. Денежный поток при этом представляется последова­тельностью (Ф₀, Ф₁, ...). При этом непрерывное и дискретное представления одного и того же денежного потока оказываются связанными между собой простыми соотношениями:

Что мы выигрываем и что теряем, переходя от непрерывного описа­ния денежного потока к дискретному? Выигрыш очевиден: расчеты ста­новятся наглядными для экономистов, их можно сводить в таблицы, а сами расчеты вести с помощью электронных таблиц. Менее очевидны потери. Прежде всего дискретный поток оказывается неудобным в тех случаях, когда мы хотим проанализировать некоторый тип инвестици­онных процессов укрупненно, получить точные или приближенные аналитические формулы для каких-то его характеристик, выявить ха­рактер влияния каких-либо факторов на эффективность проекта и т. п. Наоборот, непрерывные модели оказываются здесь наиболее приемле­мыми. Далее, при дискретном описании мы лишаемся возможности выяснить, что происходит "внутри шага расчетного периода", теряем возможность ответить на вопрос о том, осуществляются ли затраты в начале шага или в конце его, теряем и информацию о возможных в середине шаге временных денежных затруднениях и т. п. Связанные с этим ошибки проиллюстрируем на примере оценки оборотного капи­тала. Предположим, что все шаги расчетного периода одинаковы и рав­ны одному кварталу. Предположим теперь, что каждый раз в конце квар­тала мы закупаем партию запасных частей к оборудованию, которой хватает ровно на один квартал, и полностью расплачиваемся с государ­ственным бюджетом по налогам. Легко видеть, что при этом на конец каждого шага у нас будет нулевой запас запасных частей и нулевая за­долженность перед бюджетом, хотя в среднем за квартал положение будет совершенно иным.

Изложенные соображения показывают, что основным в практичес­ких расчетах эффективности должно быть дискретное представление денежных потоков. В то же время методы таких расчетов целесообразно базировать на непрерывном представлении денежных потоков. Поэто­му в дальнейшем некоторые аспекты оценки эффективности проектов будут рассмотрены сначала при дискретном, а затем при непрерывном представлении денежных потоков.