2. Күрделі пайыздар

Қаржылық практикада күрделі пайыздар көбіне орташа және ұзақ мерзімді несиелерде немесе қысқа мерзімді ссуданың пайыздарын реинвестициялағанда қолданылады. Күрделі пайыздар бойынша ақша сомасын өсіру механизмін пайыз капитализациясы деп атайды.

Бірінші жылдың соңында күрделі пайыздармен өскен капитал сомасы мынаған тең:

S = P + P i = P (1 + i) 1000 + 1000* 0,1 = 1100

Екінші жылдың соңына:

S = P (1 + i) (1 + i) = P (1 + i)² 1000 (1 + 0,1) ² = 1210

Күрделі пайыздарды есептеу формуласы:

S = P (1 + i) ⁿ (66)

Мысалы, банк «Центркредит» депозитіне салымшы 3 жылға 17% ставка бойынша 10 мың тг салым салды. Күрделі пайыз бойынша қарыздың өскен сомасы қанша болды?

S = 10 ( 1 + 0,17 )³ = 16,016 мың тг. Ал жай пайыздар бойынша 15,1 мың тг тең болды.

Сол себепті салынған салымды күрделі пайыздармен есептеген тиімді және ол салымшы мен кредиторға қолайлы болып келеді.

(62) мен (66) формула бойынша S белгілі болса, онда P анықтауға болады және P пен S белгілі болса, i мен n табуға болады. Ағымдағы P көлеммен өскен соманы S анықтау дисконттау деп аталады. Өскен сомамен S ағымдағы P көлемді анықтау компаудинг деп аталады.

(62) формуланы өзгерту арқылы дисконттық операцияға сай формуланы аламыз:

P = S / (1+ni) (67)

n = ( S – P ) / Pi (68)

i = ( S – P ) / Pn (69)

(66) формуланы өзгерту арқылы ақшаның нақты құнын бейнелейтін формула аламыз:

P = S / (1 + i) ⁿ (70)

Мұнда 1 / (1 + i) ⁿ - дисконттық көбейткіш, ол бастапқы сома өскен сомадан қаншаға аз екендігін көрсетіп отырады. S – P = D әртүрлігі дисконт болып табылады.

(66) формуласынан анықтау үшін берілген мәндерді натуралдық және ондық логарифм бойынша жинақтау керек:

Lg S = lg P + n lg (1 + i). Осыдан:

n = (lgS-lgP ) / lg (1 + i); n = lg S/P/lg(1+i) (71)

Көрсеткіштен i-ді анықтаймыз (66).

S / P = (1 + i) ⁿ ;

 

 S/P = 1 + i . Осыдан i =  S/P - 1 (72).

Мысалы, жай және күрделі пайыздар арқылы 20% ставка бойынша бастапқы салым 10 млн.теңгеден 55 млн.теңгеге өсуі үшін қанша уақыт керек?

(68) формула бойынша:

n = ( 55 - 10) / 10*0,2 =22,5.

(71) формула бойынша:

n = ( lg 55 - lg 10 ) / lg (1 + 0,2) = (1,7404 – 1,0)/ 0,0792 = 0,7404 / 0,0792 = 9,4.

Егер есептеу кезеңі толық жыл болмай бөлшектер болса, онда екі формуланы пайдалануға болады:

S = P (1 + i)^a+b (73)

S = P (1 + i)^a (1 + b i) (74)

мұнда : n = a+b – келісім кезеңі;

a - жылдар саны;

b - бөлшек жылдар саны.

n = b < 1 бойынша (74) формуладағы өскен сома (73) формулаға қарағанда көп, тек (1 + b i) > (1 + i)^b байланысты емес. Бұл әдіс пайыздарды есептеу бойынша жобаланған және берілетін нәтижеден аз болады.

Мысалы, кәсіпорынға 15 млн.тенге 4,5 жылға 20% ставка бойынша несие берілген. (73) формула бойынша қайтарылатын қарыз соманы анықтау керек:

S = 15 (1 + 0,2)^4,5.

Lg S = lg 15+ 4,5 lg 1,2 = 1,1761 + 4,5*0,0792 = 1,5325

Антилогарифм (Брадиса) кестесі бойынша S = 34,07 млн.теңге.

(74) формула бойынша: S = 15* ( 1 + 0,2)⁴ *( 1 + 0,2*0,5) = 34,2144 млн.теңге.

Күрделі пайыздар жыл ішінде бір рет қана емес бірнеше рет есептелуі мүмкін. Онда j – жылдық пайыздық ставканың номиналдыпайыздық ставкасы келісім бойынша анықталады, ол бойынша әрбір есептеу кезеңінде қолданылатын пайыздық ставканың көлемі анықталады.

Тең есептеу кезеңдері m мен номиналдық пайыздық ставка j бойыша осы көлем j / m тең болады.

Егер ссуда мерзімі n болса, онда (66) формула бойынша өскен капиталды бейнелейтін көрсеткішті аламыз:

S _{m n} = P (1 + j / m) ^{m n} (75)

(75) формуланы өзгерткенде мынадай формуланы аламыз:

^{m n} 

j = m ( S/P – 1) (76)

n = ( lg S / P ) / lg (1 + j / m ) (77)

Күрделі пайыздарды үзіліссіз есептеу арқылы (онда кезең ұзақтығы нолге үмтылып, кезең сандары шексіз болса) өскен сома мынаған тең болады:

S _{m n} = P lim (1 + j / m) ^{m n} (78)

^{m }

математикалық формуланы пайдаланып lim (1 + 1 / m) ^m = е, осыдан

^{m }

мына формула алынады: lim (1 + j / m) ^{m n} = е ^jn

^{m }

онда өскен сомаға S= P е ^jn (79), мұнда е = 2,71828 …

мысалы, бастапқы салым 10 000 теңгеге тең. Жылдық пайыздық ставка 14%.жай және күрделі пайыздық ставка арқылы бес жыл ішінде өскен соманы анықтау керек, сонымен қатар жарты жылға, тоқсан сайын, ай сайын және үзіліссіз пайыздарды есептеу керек.

(62), (66), (75), (79) формулаларды қолданамыз.

Жай пайыздық ставка: S = 10 000 (1+5*0,14) = 17 000

Күрделі пайызық ставка: S = 10 000 (1+0,14)⁵ = 19 254 тенге.

Жарты жыл бойынша есептеу: S = 10 000 (1+0,07)¹⁰ = 19 672 тенге.

Тоқсан сайын есептеу: S = 10 000 (1+0,14/4)²⁰ = 19 898

Ай сайын есептеу: S = 10 000 (1+0,14/12)⁶⁰ = 20056

Үзіліссіз есептеу: S = 10000 е ^0,7 = 20140

lg S = lg10000 + 0,7 lg2,71828 = 4 + 0,7 0,4343 = 4,3040; S=20140

Жай және күрделі есептік ставкалар

Біз осыған дейін і пайыздық ставка арқылы соманың өсуән қарастырдық. Мұнда база ретінде Р бастапқы ссуда сомасы қабылданып отырды. Антиспативтік әдіс бойынша пайыздарды есептеуден түсетін пайда есептеу кезеңі арқылы алынатын сомадан есептелінеді, ол алынатын несиенің көлемі болып табылады. Бұл кезде әрбір есептеу кезеңінің басында пайыздар есептелінеді, ал қарызгер осы сомадан пайыздық соманың айырмасын алады. Бұл жерде база ретінде қайтарылатын қарыз сомасы болып табылады. Мұндай операция есептік ставка бойынша дисконттау және коммерциялық немесе банктік есеп деп аталады.

Мұнда d (%) –жай жылдық есептік ставка;

d – есептік ставканың көлемі;

Dг - пайыздардың жылдық ақша сомасы;

D - пайыздардың жалпы ақша сомасы;

S - қайтарылатын сома;

P -алынатын несие сомасы.

Анықтамаларға сәйкес мынадай формулалар бар:

d = d (%)100 % = Dг / S (80)

Dг = d S (81)

D = n Dг = n d S (82)

P = S – D = S ( 1 - n d ) (83)

S = P / ( 1 - n d ) (84)

n = (S – P)/ d S = (1 - P/S)/ d (85)

d = (S – P)/ n S (86)

Есептік ставкалар практикада көбіне векселдер мен басқа да ақшалай міндеттемелер бойынша қолданылады. Есептік ставканы дисконттау көбіне жыл 360 күндерге тең деп, ал кезең ішіндегі күндер саны нақты деп алынады.

Мысалы, құны 100 000 тенге вексел және айналыс мерзімі 90 күн, төлеу мерзіміне 20 күн қалған кезде банкте есептік ставка 12% есептелінеді. Онда вексель иесі алатын сома P = 100 000 (1 – 20*0,12 / 360) = 99 333 теңгені құрайды.

Банк алатын дисконт сомасы мынадай:

100 000 – 99 333 = 667 тенге.

Егер осы есепті і ссуданың пайыздық ставкасы арқылы шешетін болсақ, онда дисконт көлемі басқа болады:

P = 100 000 / (1 + 0,12*70/360) = 97 720 тенге

D = 100 000 – 97 720 = 2 280 тенге.

Математикалық дисконтқа қарағанда банктік дисконт бойынша вексел иесі аз сома алады. Бұл есептік ставка уақыт факторларын қатаң қарастыруымен байланысты болып тұр.

Антиспативтік әдіс бойынша күрделі пайыздарды қарастырайық:

формула (84) мынадай болады:

S = P / ( 1 - d ) ⁿ (87)

(66) және (87) салыстыра отырып, мынадай қорытынды айтуға болады, яғни ссуданың пайызы мен есептік ставка тең болса, бастапқы соманың өсімі екінші жағдайда тезірек жүреді. Әдебиеттерде декурсивтік әдіс қарызгерге тиімді, ал антиспативтік әдіс кредиторға тиімді деген тұжырымдамаларды кездестіре аламыз. Бірақ осы тұжырымдамалар үлкен емес пайыздық ставкаларға әділ болады.

Ссуданың мерзімі аралығы өзгеретін есептік ставка бойынша өскен сома былай анықталады:

_N

S = P / П( 1 - n _r d _r)

^r=1

n ₁, n ₂, … n _r - жыл ішінде есептелетін кезеңдер ұзақтығы,

d ₁, d₂, … d _r - берілген кезеңдерге сәйкес келетін есептік ставкалар.

Жыл ішінде бір рет есептелетін пайыздар мынандай формула арқылы бейнеленеді:

S _{m n} = P (1 - f / m) ^{m n}

Бастапқы соманы, мерзімді және есептік ставка көлемді анықтау үшін өзгертілген формулалар:

P = S – D = S ( 1 - d ) ⁿ

n = ln ( S / P ) / ln ( 1 – d )

n = ln ( S / P ) / m ln ( 1 – f / m )

d = (S – P)/ n S

_n 

d = 1 -  P/S S

_{m n} 

d = m ( 1 -  P/S ) S

мысалы, үш жыл бойы төленіп отырған 15 млн. теңгенің осы заманғы құнын декурсивтік және антисипативтік әдіспен пайыздарын есептеу керек. Жылдық пайыздық ставка – 25%.

P = 15 000 000 / (1 + 0,25)³ = 7 680 000 теңге.

P = 15 000 000 / (1 - 0,25)³ = 6328125 000 теңге.