§5. Базис і координати вектора.

Означення 1. Множину найрізноманітніших систем ( ), дійсних чисел називають n - мірним дійсним простором і позначають через R_n.

Кожну таку систему чисел назвемо точкою або вектором R_n, числа х₁... х_n- координати точки (вектора) або компоненти вектора.

Означення 2. Сукупність “n” лінійно незалежних векторів n - мірного простору називається його базисом.

Зауваження: Простір називається лінійним векторним, якщо в ньому визначені операції дода­вання векторів і множення на число.

Теорема 1. Кожен вектор лінійного n-мірного простору можна представити єдиним спосо­бом у вигляді лінійної комбінації векторів базису

Числа ₁, ₂…_n - називаються координати вектора в базис ? тобто .

Властивості координат вектора.

Нехай_

1).

2).

3).

4).

Доведемо 2:

§6. Проекція вектора на вісь.

Означення 1. Проекцією т. А на пряму L називається точка А' в якій перетинається пряма L з площиною перпендикулярною до L, що проходить через т. А.

Задамо напрямлену пряму L, вектора

Означення 2. Проекцією вектора на напрямлену пряму L називається вектор , де А',В' - відповідно проекції т. А і В на пряму L. А'В' = пр₁АВ.

О значення 3. Числову проекцію вектора = на напрямлену пряму L називається добуток к кута () між а і напрямком L

пр = cos ( a^L )

Властивості проекцій.

1). пр = 0, якщо = 0, або  =  / 2.

2). пр (  ) =  пр .

3). пр ( ) = пр + пр .

4). пр (  +  +…+  ) =  пр +…+ пр

Доведення 2. 1).  > 0 пр  = cos  =  cos  =  пр .

2).  < 0 пр  = - cos ( -) =  cos  =  пр .

§7. Декартові координати вектору та точки.

Р озглянемо прямокутну систему координат в просторі OXYZ . На кожній осі виберемо одиничний вектор, напрям якого співпадає з додатнім напрямком осей ОХ-і, OY-j, OZ-n, =1. Ці три взаємно перпендикулярні вектори називаються ортами, так як вони некомпланарні, то вони утворюють базис, який називається декартовим ортогональним базисом.

Розглянемо в просторі вектор Через кінець вектора проведемо площини, паралельні координатним площинам, отримаємо паралелепіпед одною із діагоналей якого являється . За означенням суми декількох векторів маємо: але , вектори являються складовими векторами по осям OX,OY,OZ, але = пр , =

= пр , = пр

a = a + a + a

Нехай точка М має координати х, у, z. Напрямлений відрізок ОМ називається радіус-вектором т. М тобто , тоді проекції вектора на осі а = x , a = y, a = z, ( x, y, z ) = x +y +z - Декартові координати .

Напрямлені косинуси: Нехай дано a( a , a , a ), тоді:

a = пр = cos 

a = пр = cos 

a = пр = cos 

cos  = a / ; cos  = a / ; cos  = a / ;Таким чином будь-який вектора має отр вектора а = cos i + cos j + cos k .