§5. Криві другого порядку

Означення 1 : Криві які мають загальне рівняння у вигляді (1) де , називаються кривими 2-го порядку.

1. Коло

Означення 2 : Крива 2-го порядку є колом тоді і тільки тоді, коли:

1. Коефіцієнти при квадратах змінних координат рівні між собою.

2. Відсутній член, що містить добуток змінних координат

тобто (2)

C - центр кола, R- радіус

Якщо центр кола співпадає з початком координат

2. Еліпс

О значення 3: Крива 2-го порядку (1) , називається еліпсом, якщо коефіцієнт A і C мають однакові знаки, тобто > - еліпс

C(c;d),a,b- пів вісі.

Я кщо c=d=0 - центр в О(0;0) . Розглянемо (4) :

Означення 4 . і , де , (a>b)називається фокусами еліпса.

Означення 5. Відношення називається ексцентриситетом еліпса

Характеристична властивість еліпса

Теорема 1: Для будь-якої точки еліпса сума її фокальних радіусів стала і дорівнює

Доведення :

аналогічно т.к.

\\ \\

3. Гіпербола

О значення 6. Крива другого порядку (1) називається гіперболою, якщо коефіцієнт A і C рівняння (1) мають різні знаки, тобто AC<0.

(5) , якщо

, де - є фокуси гіперболи.

, 1< ε < +∞ - ексцентриситет гіперболи.

Характеристична властивість гіперболи

Теорема 2. Для будь-якої точки гіперболи абсолютна величина різниці її фокальних радіусів, величина стала і дорівнює

Гіпербола має асимптоти .

4. Парабола

Означення 7. Крива (6) називається параболою з вершиною

і параметром , пряма - вісь симетрії.

Для маємо , точка - фокус параболи,

- директриса параболи.

Характеристична властивість параболи.

Теорема. Відстань довільної точки параболи від фокуса дорівнює відстані до директриси, тобто .

§6 Полярна система координат

Візьмемо на плошині т. , яку назвемо полюсом, проведемо з полюса напрямлену напівпряму - полярну вісь, тоді довільна точка площини буде мати координати , де - полярний радіус, з’єднавший полюс і точку,

- полярний кут.

,

, якщо проти руху годинникової стрілки.

- якщо за годинниковою стрілкою.

Зауваження: кожній парі чисел відповідає єдина точка площини, але кожній точці площини – не єдина пара чисел, наприклад ; ….

відповідає одна і таж точка.

Зв'язок між прямокутними і полярними координатами:

.

Обернений зв'язок:

, ,

, .

Рівняння кривих другого порядку в полярній системі координат

1) - коло.

2) - еліпс.

Деякі криві другого, третього порядку

Кардіоїда

Циклоїда

Архімедова спіраль

Леменіската Бернуллі

Декартів лист

Астроїда

Троянди