§4 Методи інтегрування

1. Підведення під знак диференціалу

Нехай потрібно знайти інтеграл від функції . За означенням диференціалу функції вираз .

Приклад.

Обчислити інтеграл ,

2. Інтегрування за частинами

- інтегрування за частинами

Приклад

1.

2.

3. Інтеграл від функції, що містить повний квадрат

Розглянемо (2)

він зводиться до інтегралу (1) шляхом виділення в чисельнику похідної від знаменника

Приклад:

4. Інтегрування раціональних дробів.

Розглянемо правильний дріб

Нехай для визначенності (2), де квадратичний тричлен не має дійсних коренів.

Теорема. Правильний раціональний дріб , де - (2) можна єдиним способом розкласти на суму найпростіших дробів.

(3)

Метод невизначених коефіцієнтів.

Коефіцієнти Аі, Ві, Мі, Nі – в рівності (3) можна визначити слідуючим чином. Рівність (3) – це тотожність, тому звівши дроби (3) до спільного знаменника, отримаємо тотожні многочлени в чисельниках зліва та справа. Порівнюючи коефіцієнти при однакових степенях – x, або даючи х значення отримаємо систему рівнянь для визначення отримаємо систему рівнянь для визначення невідомих коефіцієнтів.

Це є метод невизначених коефіцієнтів.

Приклад:

Зауваження: Всі неправильні дроби перетворюються у правильні діленням многочлена на многочлен, тобто виділяючи цілу частину.

Приклад:

§ 5 Інтегрування деяких ірраціональних функцій

1) dx, a

2) dx

3) де не має рівних коренів. Якщо D< 0, а >0 - перша підстановка Ейлера.

D>0, друга підстановка Ейлера

§ 6 Інтегрування тригонометричних функцій

1. n – цілі, >0

а) n – парне:

б) n – непарне sin x або cos x підвести під знак диференціалу і використовують тригонометричні формули

Приклади: ,

2. ,

а) m,n – хоча б одне непарне, виділити один множник і замінюючи змінну на t, отримаємо табличні інтеграли.

б) m, n – парне > 0 – знижувати степінь за тригонометричними формулами

3.

Приклади:

4.

5. універсальна підстановка ;

Приклад:

§ 7 Інтегрування функцій, раціонально залежних від тригонометричних

1) або

Приклад:

2)

3)

Зауваження 1.

Інтегрування за частинами

Зауваження 2. Існують інтеграли, які не мають рішення ні за одним з вказаних методів. Вони знаходяться лише за приблизними правилами.

Наприклад: і т. д.

2 Семестр

РОЗДІЛ 1