Властивості векторного добутку.

1. 

2)

3)

4. 

5. Якщо то

Доведемо 4:

Приклад:

§11 Змішаний добуток трьох векторів.

Означення 1. Добуток називається векторно-скалярним, або змішаним добутком трьох векторів і позначається

Теорема 1 . Якщо , то

=

Доведення

щ.п.д.

Властивість.

1)

2)

3) – об'єм паралелепіпеда

4) – об'єм піраміди

Теорема 2. (Умова компланарності 3-х векторів)

Для того, щоб три вектори були компланарні необхідно і достатньо щоб їх змішаний добуток = 0 , =0

Доведення: 1). Нехай - компланарні, тобто лежать в одній площині, тоді вектор отже цей вектор перпендикулярний площині де розташовані ці вектори, тобто  , тому = 0.

2. , якби некомпланарні, то на них можна було б побудувати па­ралелепіпед, об'ємом V0, але V = , –компланарні.

Приклад: Показати, що – компланарні. (-1, 3, 2), (2,-3,-4), (-3, 12, 6)

Розділ 3. Елементи аналітичної геометрії

§1 Пряма на площині

1. Р l y івняння з кутовим коефіцієнтом

В площині задамо прямокутну систему координат і пряму l

b

не паралельну ох і оу (1), де –

x

кутовий коефіцієнт, b – відрізок на оу, який відтинає l. Якщо

пряма вертикальна, то її рівняння , якщо = 0, то –

горизонтальна пряма. Якщо кутовий коефіцієнт k та точка , через яку проходить пряма, то рівняння має вигляд :

(2)

Н

y

ехай т. належить прямій, , звідси ;

(4)

Н

x

ехай дано дві прямі, знайдемо кут між ними

;

Якщо , то та як , якщо , то ,

;

Приклад: Записати рівняння прямої, що проходить через точку (2;-3)⊥ ⊥ 1/3x-7/3.

2.Загальне рівняння прямої на площині

О значення 1:Загальним рівнянням прямої на площині є (5)

Теорема 1: Нехай т. , будь-які точки, що належать

прямій (5),тоді

, тобто вектор .

N

. N - називається нормальним вектором ,

M₁ S M₂ - напрямленим вектором.

Наслідок: 1) Якщо дано дві прямі ,

тоді , ,

2) Умова ⊥

3)Умова‖

3.Відстань від точки до прямої

K

Знайдемо відстань від т. прямої

, тобто

N

Нехай , тоді , ,

, але ,

П

A

риклад: обчислити висоту в , якщо

1. 

   C

   B

   K

   

§2 Площина в просторі

1. Загальне рівняння площини

M

z

y

x

Запишемо загальне рівняння площини в

просторі. Нехай т. , , . Тоді

),

;

, де .

Теорема1: Якщо деяка площина задана рівнянням (1), то вектор

неї.

Доведення: Нехай т. лежать в

площині (1), тоді

до і , які лежать в площині (1)

Про те площині щ.п.д.

Зауваження: Якщо рівняння (1) рівносильне

рівнянню (2), де

(2) називають рівнянням площини у відрізках, вона перетинає в , – b,

oz – c.Відстань від т. площини (1) обчислюється за формулою

2.Рівняння площини, що проходить через три точки

Нехай площина проходить через три точки

M₁

M₁

M₂

M

.

Візьмемо ще одну точку і розглянемо

вектори

);

;

Ц і вектори компланарні, тому , тобто

= 0 – це рівняння площини