2.Числові послідовності

О зн.1 Числова функція y=f(n), де n-натуральне число , наз-ся послідовністю, у₁= f (1), y₂= f (2), … y_n= f (n) – наз-ся членами послідовності. у= f (n) – загальним членом послідовності.

Інколи вираз y= f (n) має вигляд f (n )= {a _n}.

Способи задання послідовності:

1. функцією

2. декількома першими членами

3) рекурентним способом, за допомогою правила, за яким можна обчислити наступний член через попередній, наприклад,

Озн.2 Послідовність наз-ся зростаючою, якщо при збільшенні натуральних значень n, члени послідовності збільшуються, якщо зменшуються, то її називають спадною.

О

зн.3 Число b наз-ся границею послід. якщо існує натур. число .таке ,що для всіх значень , виконується нерівність , заг.

Геометр.

y

b

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

1 2 n х

О зн.4 Послідовність наз. oбмеженою зверху (знизу), якщо існує таке число k, що виконується нер-сть

Наприклад {y}={1,2,1/3,4,5,1/6 …} обмеж.0

Озн.5 Послідовність, яка має границю наз-ся збіжною, в протилежному випадку розбіжною.

Властивості:

1. Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена. Доведення.

Нехай - збіжна і а – її границя. Візьмемо , N - номер починаючи з якого . Нехай а – max - обмежена.

2. Будь-яка збіжна послідовність має тільки одну границю. Доведення.

Від протилежного : має дві границі а і b і так як всі елементи. н.м.п. мають одне і теж стале значення b-а, то c=b-a=0= b=a;

3) Якщо і то

4)Якщо змінні  до однієї границі, то змінна також збігається до цієї границі.

5. Якщо , збіжні, то також збіжна і границя (1) .

Доведення.

Нехай .

тоді задамо і візьмемо , так, тоді (1) Ч.т.д.

5. Якщо - сбіжні, то ,

6. 

Теорема ( Ознака збіжності послідовності ). Якщо посл-ть монотонно зростає ( спадає ) і обмежена зверху ( знизу ), то має границю

ⁿ = e

Доведення. Розглянемо посл-ть {x _n},x _n= , , ... Доведемо, що вона збіжна. Для цього необхідно довести , що вона зростає та обмежена зверху. За формулою Бінома-Ньютона (a+b)ⁿ= + , – число сполучень, к

.

… і коли 0<k<n - зростаюча і обмежена знизу ще бачимо що і т.д. в розкладі <1, а при n>2

за фор-лою суми геом. прогресії -

обмежена зверху.

3. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ , ТА НЕСКІНЧЕННО ВЕЛИКІ ПОСЛІДОВНОСТІ

О зн.1 Послідовність, яка має границю 0 наз-ся нескінченно малою.

О зн.2 Послідовність { } наз-ся нескінченно малою, якщо >0 номер N такий, що при n>N виконується нер-ть | _n| < .

Власт. 1) Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно мала послідовність.

Доведення.

Нехай { } і - н.м. пос. Доведемо, що пос-ть - н.м. Нехай – н.м. > 0. N – номер , починаючи з якою | _n|< ; N₂ | _n| < ( за озн.1 ). Візьмемо N= max {N₁ N₂} тоді при n< N будуть одночасно виконуватись нер-ті.

при n>N

2 ) Добуток двох н.м.п. на обмежену послідовність є н.м.п.

Доведення.

Нехай -обмежена, -н.м.п .Доведемо що - н.м . З обмежен. випливає, що вона обмежена А>0; .Візьмемо <0.Т.як -н.м.,то для номер N такий, що при n>N виконується нер-ть ,тоді при n>N -н.м.

3 ) Добуток неск. малих посл-тей є н.м.п.

Доведення.

Нехай -н.м.п. Доведемо, що -н.м.Т.як -н.м., >0 N₁ такий, що при n<N₁, а т.як -н.м. =1, N_{2 ,} при n>N₂ .Візьмемо N=max виконуються обидві нер-ті для n>N -н.м.

Наслідок з 3-х властивостей – сума, добуток будь-якого числа н.м. пос—тей є пос-ть н.м.

Теорема. Для того, щоб змінна a _n мала границю а необхідно і достатньо, щоб a _n= a + , де - нескінченно мала.

Озн.3. Послід-ть назив. нескінченно великою ( н.в.), якщо M>0 , знайдеться таке n ₀, що , при тому записують:

Властивості.

1) Якщо а _n - має границю а, а b _n - н.в. то

2) Якщо має границю знизу, а b _n=0 – н.м. пос-ть, то