Приклад

Обчислити площу обмежену еліпсом x = a cos t y = b sin t

x₁=-a то cost₁=-1 t₁=

x₂=a то cost₂=1 t₂=

1.Визначимо межі інтегрування

Я кщо криволінійна трапеція обмежена кривою , заданою в полярних координатах ρ=ρ(φ),

φ[ α;β ]. Визначимо площу . Нехай в полярній системі координат маємо криву ρ=ρ(φ), де ρ(φ) неперервна функція на [ α;β ]. Визначимо площу сектора , обмеженого кривою ρ=ρ(φ) та радіус-векторами φ₁=α, φ­₂=β. Розіб’ємо дану площу радіус-векторами на n частин , позначимо через Δφ₁,Δφ₂, ... , Δφ_n кути між проведеними радіус-векторами

_i – довжина радіус-вектора ,що відповідає будь-якому куту φ_і, що знаходяться між φ_і-1 та φ_і .Площа кругового сектора з радіусом ρ_і та центральним кутом Δφ_і

, тоді

при n маємо

Приклад

Обчислити площу обмежену лінією

;

	-/4	0	/4
	0	1	0

2. Довжина дуги плоскої кривої

Під довжиною дуги АВ розуміють границю до якої прямує довжина ламаної , вписаної в цю дугу, коли число частин ламаної необмежено зростає, а довжина найбільшої частини прямує до нуля.

Н ехай y=f(x) рівняння кривої на [a;b]

Розіб’ємо криву точками М_і на n частин, маємо М₀М₁... М_n -ламану.

Довжина М_і-1 М_і буде дорівнювати:

теорема Піфагора

З

а теоремою Лагранжа

т

обто

, отже

при n

а бо, якщо

Приклад

Обчислити довжину кола x²+y² = r², y= r²-x²

Якщо дуга кривої задана параметрично x=x(t), y=y(t), t[t₁;t₂]

Зауваження

Якщо крива задана в просторі x=x(t),y=y(t),z=z(t)

(6)

Приклад

Обчислити довжину дуги x = a cos³ t , y = a sin³t

Зауваження

Межі інтегрування знайдемо надаючи параметру f значення:

t	0	/3	/2
x	a	0.35a	0
z	0	0.35a	A

Зауваження

Я

кщо крива задана в полярних координатах ρ=ρ(φ) . Запишемо формули переходу y= ρ sin φ ,x= ρcos φ

Т Приклад оді

Обчислити довжину кардіоїди

	0	/3	/2	
	2a	1.5a	a	0