§4 Диференційованість і повний диференціал

Озн.1 Функція U=f(x,y) називається диференційованою в точці М(х,у), якщо приріст в ній може бути зображений у вигляді

∆U=А∆Х+В∆Y+f₁(∆x, ∆y) ∆X+f₂(∆x, ∆y) ∆Y (1), де А і В – деякі, залежні від ∆Х, ∆Y числа, а f₁ і f₂ – нескінченно малі коли ∆Х→0, ∆Y→0

Озн.2 А∆Х+В∆Y у рівності (1) називається головною лінійною частинною приросту функції в точці (х,у)

Озн.3 Диференціалом функції двох змінних називається головна лінійна частина приросту d U=А∆Х+В∆Y

Теорема: Якщо функція U=f(x,y) диференційована в точці М(х,у), то дана функція має частинні похідні по Х і Y в даній точці і коефіцієнти А і В в головній лінійній частині приросту обчислюється за формулами:

Доведення: За умовою теореми функція U=f(x,y) є диференційованою в точці М=> ∆U=А∆Х+В∆Y+f₁∆X+f₂∆Y, нехай ∆Y=0. Тоді ∆U=А∆Х +f₁∆X, ∆U=f(X+∆Х,Y)-f(x,y) поділимо рівність на ∆Х і знайдемо границю частки, коли ∆Х→0

Тобто , аналогічно Щ.П.Д.

Теорема(Достатня умова диференціювання): Якщо функція двох змінних U=f(x,y) має в деякому околі точки, неперервні частинні похідні першого порядку за змінними Х та Y, то повний диференціал функції в цій точці існує і обчислюється за формулою dU= (2)

Приклад: Знайти повний диференціал

Рівність (2) виконується для наближеного обчислення значень.

Нехай Z=f(x,y),тоді Z(М)= Z(М₀)+dZ, тобто

Приклад: Обчислити Z(x,y) в т. Ф(1,96;2,03)

Похідна складної функції U=f(x,y), яка має неперервні частинні похідні за змінними X,Y в деякому околі т. М(х,у), де X=g(t), Y=φ(t) обчислюється за формулою:

Приклад: (X+2sin(y))

U=e;

§5. Екстремуми функції двох змінних

Озн.1: функція f(x,y) має максимум в точці (a,b) якщо значення f(a,b) не менше значення функції в будь-яких точках з деякого околу точки (a,b), тобто f(x,y)≤f(a,b), і мінімум якщо f(x,y)≥f(a,b).

Теорема 1 (необхідна умова екстремуму). Функція f(x,y) має екстремум лише в тих точках де або не існує. Ці точки називаються стаціонарними.

Теорема 2 (достатня умова екстремуму). Якщо U= f(x,y) має в околі стаціонарної точки (x_о,y_о) неперервні похідні другого порядку і, якщо >0 та - максимум , - мінімум. Δ<0 – немає екстремуму, Δ=0 потрібні додаткові дослідження.

Якщо , , то Δ=АС-В²

Приклад: Дослідити на екстремум функцію U=х²+2у²+х.

1. стаціонарні точки

2) , , , >0, А>0 – мінімум, отже - мінімум.

Екстремум за умовою

Озн.2 Умовним екстремумом функції Z= f(x,y) називається екстремум цієї функції досягнений при умові, що змінні х,у зв’язані рівнянням g(х,у)=0 (рівняння зв’язку ).

В цьому випадку необхідна умова екстремуму має вигляд:

; - формула Лагранжа

З цієї системи знаходять невідомі х, у та (х,у)- стаціонарна точка. Аналогічно екстремуму в точці знаходять Δ=АС-В² і якщо Δ>0 є екстремум , який шукають.

Приклад:

Знайти екстремум Z=X²+Y², якщо Х та Y задані рівнянням .

;

;

(1,44;1,92) – стаціонарна точка

; ; . >0 , >0