3. Обчислення об’єму тіла за площею паралельних перерізів

Нехай задано тіло Т, та відомо площу будь-якого перерізу цього тіла площиною, перпендикулярною до осі ОХ. Ця площа залежить від положення січної площини і являється функцією від Х : S=S(x) . необхідно визначити об’єм тіла Т, якщо S(x) — неперервна

функція. Спроектуємо тіло на вісь ОХ ,

отримаємо [a;b], який дає лінійний розмір тіла в напрямку ОХ , розділимо [a;b] точками x_i на n частин і через них проведемо площини , перпендикулярні ОХ, тіло розіб’ється на суму циліндрів, об’єми яких

Приклад

Знайти об’єм піраміди з площею основи та висотою Н. Нехай S(x) — площа перерізу. Площі їх перерізів відносяться як квадрати їх відстаней до вершини.

;

4.Об’єм тіла обертання.

О

S(x)

x

y

A

a

V

b

B

0

бчислити об’єм тіла V_x утвореного шляхом обертання навколо осі ОХ криволінійної трапеції аАВb , обмеженої y = f(x) , a≤x≤b ,віссю ОХ

та прямими x=a , x=b.

S(x)= y² — коло в розрізі

аналогічно

Отже

Приклад

Визначити об‘єм тіла.

5

y

y=f(x)

.Поверхня тіла обертання.

Y

=f(x)­обертається навколо осі ОХ на [a;b]

Я

0

x

кщо крива задана параметрачно

Невласні інтеграли.

1

.Інтеграли з нескінченними межами.

При означенні інтеграла припускалось, що

1. проміжок [a;b] скінчений ;

2. підінтегральна функція f(x) визначена та неперервна на [a;b]

Такий визначений інтеграл називається власним . Якщо хоча б одна з умов порушується ,інтеграл називається невласним .

м

ає розрив другого роду в точці x[a;b].

Якщо границя то існує інтеграл

називається збіжним, в протилежному випадку - розбіжним.

Г

еометрично

, або

Приклад:

2. Ознаки збіжності невласних інтегралів.

Я

кщо для будь якого х (ха) виконується нерівність

0f(x)(x) i збіжний, то також

збіжний, 

Я

кщо для будьякого х (ха) виконується нерівність

0f(х)(x) і розбіжний то також розбіжний

Якщо збіжний, то є абсолютно

збіжний.

П риклади

1. 

   

збіжний і даний розбіжний.

2.  то

розбіжний і даний теж.