§ 13. Деякі теореми про диференційовані ф – ції.

ПРАВИЛО ЛОПІТАЛЯ

Теорема Ферма (Фр. 1601 – 1665)

Нехай функція y = f (x) визначена на інтервалі (a, b) і приймає в деякій

Точці x = c є (a, b) найбільше або найменше значення. Тоді якщо в т.

x = c існує похідна цієї ф – ції, вона дорівнює нулю.

y

c _Х

0 a в

Довед. Нехай в т. c ф – ція приймає найбільше значення f (c) = М, на ін-тервалі (a, b) Покажемо що f ' (c)=0

Так як f ' (c) =

т. я. в т. c значення найбільше =>

f (c) ≥ f (c + Δx) i f (c +Δx) – f (c) ≤ 0 =>

Глава 1 Функції багатьох змінних

§1 Границя та неперервність ф.Б.З.

Озн.1 Функція, залежна від двох та більше змінних називається функцією кількох змінних f(x,y), f(x,y,z), f(x,y,z,t)

Озн.2 Областю визначення Ф.Б.З. являється множина точок М, для яких функція f(M) визначена

Приклад:

1. З

   y

   найти обл.. визн. ф-ії

2

x

2. З

   2

   найти обл.. визн. ф-ії

2

2

О

y

зн.3 Лінією рівня функції U=f(x,y) називається лінія f(x,y)=С, в площині хоу, в точках якої функція зберігає стале значення U=С.

П

1

x

риклад: Знайти лінії рівня функцій

Озн.4 Поверхнею рівня функції U=f(x,y,z) називається поверхня f(x,y,z)=С, в точках якої функція зберігає стале значення U=С.

П риклад:

U =

Озн.5 Окіл точки М₀(Х₀,Y₀) є множина усіх точок М(X,Y), які задовольняють нерівності < <

M

- окіл з радіусом кола G

M₀

Озн.6 Число А називається границею функції f(M) коли М→М₀, якщо для будь-якої послідовності точок така що , виконується рівність

Озн.7 Функція f(M) називається неперервною в точці М₀ якщо виконується нерівність . У випадку двох змінних М→М₀

^y→y

Озн.8 Функція f(M) називається неперервною на множині, якщо вона неперервна в будь-якій точці цієї множини.

Зауваження: Усі теореми і властивості однієї змінної діють для Ф.Б.З.

Приклад: Показати, що функція неперервна на будь-якій області визначення (х,у)

Рішення: О.Д.З. будь-які X²≠Y²≠0

Візьмемо будь-яку т. (X_n,Y_n)=>

§2 Диференціювання функцій багатьох змінних

Розглянемо функцію U=f(x,y), визначену в околі т. М₀.

Якщо одна з координат цієї точки фіксована, тобто постійна, наприклад Y₀, маємоф-ію однієї змінної f(X,Y₀).

Озн.1 Похідна ф-ії f(x,y) по одній змінній наз. Частинною похідною і позначається

, коли Y₀ – фіксована.

- похідні другого порядку.

Озн.2 Похідна називається змішаною похідною другого порядку. Для неї виконується рівність

Приклад: Перевірити останнє твердження для

§3 Геометричний зміст частинної похідної

Z=f(x,y) – геометрично, це поверхня у просторі, прямокутної системи координат. Нехай А- точка поверхні А(Х₀,Y₀,Z₀); Z₀=f(Х₀,Y₀)

Проведемо через неї площину паралельну ОZ і перпендикулярну ОY.

Рівняння площини Y =Y₀. У перетині з поверхнею отримуємо криву, яка проходить через точку А(Х₀,Y₀,Z₀) і належить поверхні. В площині Y =Y₀ крива має рівняння Z= f(Х,Y₀) (1)

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої в точці А буде дорівнювати k= , аналогічно k= , таким чином:

Озн.1 Перші частинні похідні від Z= f(Х,Y) в точці (Х₀,Y₀) дають кутові коефіцієнти дотичних ліній, перетин поверхні площинами паралельними координатним площинам ZOY, ZOX, що проходять через точку А(Х₀,Y₀,Z₀).