§2. Лінійні операції над векторами.

1.Додавання векторів.

Означення 1. Сумою двох векторів і називається третій вектор, початок якого співпадає з початком вектора , а кінець з кінцем вектора , причому початок вихо­дить із кінця.

.

Означення 2. Сумою декількох векторів називається вектор, початок якого співпадає з початком першого, а кінець - з кінцем останнього, причому кожний наступний вектор має початок в кінці попереднього.

Сума двох неколінеарних векторів і можна знаходити правилом трикутника або пара­лелограму.

Сума 3-х некомпланарних векторів , , за правилом паралелепіпеда

2.Віднімання векторів.

О значення 3. Різницею двох векторів і (зведених до спільного початку 0) назива­ється вектор, напрямлений із кінця від’ємника (вектора ) в кінець змен­шуваного ( ).

3.Множення вектора на число.

Означення 4. Добутком вектора на число m називається вектор , який задовольняє наступним умовам:

1) довжина вектора дорівнює добутку довжини на модуль числа m;

2) якщо m >0, то і співнапрямлені, якщо m< 0, то і - протилежно нап­рямлені.

=ma, m>0

=ma, m<0

Властивості добутку вектора на число.

1)  1= ,  0=0;

2)  (   )=(    ) ;

3) (    ) =   +   ;

4)  ( + )=  +  .

(Довести одно самостійно)

§3 Орт вектора. Умова колініарності.

Означення 1. Вектор, модуль якого дорівнює 1, називається ортом (одиничним вектором).

Означення 2.Ортом ненульового вектора називається вектор, модуль якого дорівнює 1, а напрямок співпадає з напрямком вектора 1, 0 || .

Справедлива рівність: = 0; 0= / .

Теорема 1. (ознака колініарності 2-х векторів).

Для того, щоб два вектори були колінеарні необхідно і достатньо, щоб один із них дорівнював добутку деякого числа на другий вектор.

Нехай вісь 1 утворює з осями координат кути ,,. Напрямними косинусами осі 1 (або напрямку 1) називаються косинуси цих кутів (cos , cos, cos)

Я

кщо напрямок заданий одиничним вектором , то напрямні коси­нуси являються його координатами n0(cos , cos, cos). Напрямні косинуси зв'язані між собою співвідношенням:

§4. Лінійна залежність, та незалежність векторів.

Означення 1. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа осі, одночасно не всі рівні нулю що . В протилежному випадку вектори називаються лінійно-незалежними.

Якщо вектори лінійно залежні і наприклад , тоді тобто, - являється лінійною комбінацією векторів .Таким чином, якщо вектори лінійно-залежні, то хоч один із них лінійно виражається через решту векторів. Геометрично:

Теорема 1. (про лінійну залежність 2-х векторів).

Два, вектори лінійно-залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення: - лінійно-залежні  , тоді за ознакою колініарності  .щ.п.д.

Теорема 2. (про лінійну залежність 3-х векторів).

Три вектори лінійно-залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення: 1) Необхідність.

Нехай , лінійно залежні, покажемо, що вони компланарні. З того, що вектори лінійно залежні можемо записати :

а)  , то лежить з ними на одній прямій тоді - компланарні.

б)  , тоді за правилом паралелограма маємо, що всі вектори лежать в одній площині  компланарні.

2) Достатність.

Нехай компланарні, покажемо, що вони лінійно залежні.

а)    лінійно залежні.

б) - попарно колінеарні.

1)

2) тоді

лінійно залежні.

Наслідок: 1. три компланарні вектори лінійно незалежні.

2. чотири вектори в трьохмірному лінійному просторі лінійно залежні завжди.

Теорема 3. Якщо два вектори не колінеарні, то будь-який вектор що лежить в площині векторів , можна лінійно виразити через вектори єдиним способом.

Доведення: -компланарні (за умовою), тоді існують такі числа одночасно не рівні нулю, то . Розглянемо два випадки:

а) нехай, наприклад,  = 0, тоді  - лінійно залежні.  .

б)0, , або (1) так як лінійно незалежні, то (2) .

Теорема 4. Якщо три вектори - не компланарні, то будь-який вектор можемо лінійно ви­разити через , при тому єдиним способом.