§ 8. Похідна функція

Н ехай задана функція f (х). Розглянемо 2 значення аргум. х₀ і х

y Δх = х – х₀ ; Δy = y – y₀ = f (x) – f(x₀)

y ₀ т. ч. x = x₀ + Δx

Δx Озн 1 Похідною y = f (x) в т. x₀ наз. границя відношен-

⁰ x₀ x ня приросту ф – ції Δy в цій точці, до приросту

аргумента Δx, якщо x→ 0

f ' (x) =

Нехай на кривій задана т. М₀

M Озн.2 Дотичною є пряма, яка займає

граничне положення січної.

М0 _{Δ У}

У₀

α Розглянемо графік y = f(x), яка має в

β т. М₀ (x_0,y₀) невертикальну дотичну.

0 х₀ х₀+х Знайдемо кутовий коефіцієнт.

k = tg α, для цього проведемо через

т. М₀ січну М₀М де М(x₀+ ∆x; y₀+∆y).

Її кутовий коефіцієнт k_січ = tg β = , при , при цьому січна необмежено наближається до дотичної, тобто β = α, а тому tg β = tg α кутовий коефіцієнт дотичної:

k = tg α = tg β = = y′ = f ′ (x₀)

Висновок Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції в точці з

абсцисою Х₀ дорівнює значенню похідної цієї функції в т. x₀

k = f ′ (x₀)

Озн. 3 Якщо f(x) має неперервну похідну f ′ (x) на [а,b], то ф-ція f(x) наз.

гладкою на цьому проміжку.

О зн. 4 Функція f (х) похідна якої f ′ (х) допускає тільки скінчене число

точок розриву, причому I роду, на даному проміжку [а,b],

наз. кусочно – гладкою на цьому проміжку.

Зауваження Знаходження похідної ф – ції наз. диференціюванням

Теорема Якщо ф – ція диференційована, в будь якій точці то вона не-

перервна у ній.