1.Функція

Озн.1 Величина у – наз. функцією від величини х, якщо за певним правилом f ,кожному значенню величини х відповідає єдине цілком визначене значення величини у. Х –наз . аргументом, або незалежною змінною, у-залежною змінною. В даному випадку записують у = f (х).

f-правило за яким х відповідає ! у.

Способи завдання функції:

1. Аналітичний – у =f (х)

Х ^{……………………………}

2. Табличний У ^{……………………………} (табулювати) це приблизний.

3. Г рафічний

О зн.2 Графіком функції у =f (х) – наз. множину всіх точок М(х,у) площини ОХУ, координати яких зв’язані данною функціональною за-лежністю.

Озн.3 Якщо кожному значенню х відповідає одне значення у, то у=f(х)-наз.однозначною ф-цією (у = sinx, y =x² ), якщо хоча б деяким значенням х відповідає декілька або нескінчена множина значень змінної у, то у – наз. багатозначною ф-єю від х (наприклад у = arcsin x).

Основні елементарні функції

1 ) степенева ф-ія у = х _______ _______ _______ _______

>1 <1 0< <1 у = х^{1/ 3}

2)показникова у = а^х

3)логарифмічна у = log _ах

4)тригонометричні

Взаємообернені функції.

Н ехай дана функція (1) у = f(х), х є [а , в], х є [c , d ] , тоді у = (х) або у = (у) (2) буде взаємооберненою відносно у = f(х). Графіки взаємообернених ф-цій симетричні відносно прямої у = х (бісектриси 1 і 3 коор. кутів)

у=f(х)

у = (х)

Обернені тригонометричні ф-ії.

y = arcsin x y = arctg x

Y = arcctg x

y = arccos x

Складна ф-ція (суперпозиція ф-ції )

Х U u = (x)

f q y = g (u)

Y y = f (x) = g(u) = g( (x))

Y = g- суперпозиція ф-ії

Наприклад : y = sin u , u = x² , y = sin x²

Неявні функції

Озн.4 Функція наз. явною, якщо вона задана формулою, права частина якої не містить залежної змінної (y = x², … ), і наз-ся неявною, якщо вона задана рівнянням F(x,y) = 0 (1), яке не розв’язане відносно y.

( x ² + y² = 1 )

Зауваження Не всяке р-ня (1) визначає неявну функцію. Наприклад

x² + y² + 1 = 0 в області дійсних чисел функцію не виз-

начає.

Елементарні функції

О зн.5 Функція у =f (х) наз-ся елементарною, якщо вона може мати вигляд одного аналітичного виразу з кінцевим числом арифметичних дій над основними елементарними ф-ями.

ln²x_

( y= ctg x²+ x²+4 - 5 ) – елем.

у=| x | = ² –не явл. т.як | ~ | - не вход. в ариф. дії

До елементарних ф-цій відносяться:

а) раціональні у = Pn (x) = A ₀x⁴+ …+A _n-1 +A _n

у = ах + b, y = ax²+ bx +c

Рn (x) 1_

б ) дробово-раціональні у = Qm(x), де Pn (x), Qm (x)- многочлени (у= х )

е^х - е^-х у=sh x

в) гіперболічні : sh x = 2

e^x + e^-x y = ch x

ch x = 2

1

sh x_ e^x – e ^-x_ _ _ _ _ _ _ 1_ _ _ _ _

t h x = ch x = e^x +e ^–x

_ _ _ _ _ _ -1 _ _ _ _ _

ch x_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

cth x = sh x

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Властивості : ch² x – sh² x = 1

sh (x y) = sh x _* ch y sh y _* ch x

ch (x +y) = ch x _* ch y + sh x _* sh y

(Дома повторити елементарні функції: парну, непарну , періодичну та

їх графіки).