§8 Ділення відрізка в даному відношення.

Розділити відрізок M M в даному відношенні >0. Це M M M₂ означає на даному відношенні  > 0. Це означає, на даному відрізку знайти таку точку М, для якої виконується рівність:M M/MM =,абоM M=MM (1). Нехай є т. M ( x , y , z ) і т. M ( x , y , z ). Знайдемо координати точки М(х, у, z). Так як викону­ється рівність (1) маємо: (х-х ) +(у-у ) + + ( z -z ) =  ( x -x) +  ( y -y ) +  ( z -z) , тоді х-х =  ( x -x );

у-у =  ( y -y ); z-z =  ( z -z ). Таким чином маємо:

x = ( x +  x )/(1+) y = ( y + y )/(1+) z = (z + z )/(1+)

Якщо т. М середина відрізка М₁М₂, тобто  = 1, то х = (х₁+х₂)/2; у = (у₁+у₂)/2; z=(z₁+z₂)/2.

Приклад . Горизонтальна балка довжиною 3 м і масою 80 кг вільно лежить своїми кінцями на двох рухомих опорах А і В. На відстані від кінця А потрібно розмістити вантаж масою 200 кг, щоб тиск на опору В був рівним 1100 Н?

Ров'язання:

Маса балки 80 кг складає 784 Н. На опору діє половина ваги балки. Тобто 392 Н. Вага масою 200 кг діє на балку силою 1960 Н. На частину опори В повио припадати 1100 – 392 = 708 Н, а на частану опори А - інші 1252 Н.

Прийнявши точку А за початок координат (рис. 2),ділимо відрізок в відношенні

Тоді

Таким чином, щоб тиск на опору В був рівний 1100 Н, необхідно вантаж масою 200 кг розмістити на відстані 1,07 м від опори А.

§9 Скалярний добуток векторів.

Означення 1. Скалярним добутком векторів і називається число рівня добутку їх довжин на косинус кута між ними.

Фізичний зміст – робота постійної сили F по переміщенню точки на прямолінійній ділянці

А=F^1

,  ^cos=

Властивості скалярного добутку.

1)

2)

3)

4) при

5)

Зауваження:

6)

7)

§10 Векторний добуток векторів.

О значення 1. Упорядкована трійка не компланарних векторів називається правою, якщо найкоротший поворот від 1 вектора до 2-го з кінця 3-го здається таким, що прохо­дить проти годинникової стрілки, якщо за годинниковою стрілкою, то трійка векторів називається лівою.

– права, – ліва.

Означення 2. Векторним добутком вектора на називається вектор , який задовольняє тим умовам

1. вектор

2. вектори , , утворюють праву трійку

3. 

Позначимо , або . Геометрично це вектор, модуль якого дорівнює площі пара­лелограма побудованого на цих векторах як на сторонах

Зауваження: Із означення 2 , щоб два не нульових вектора були колінеарні необхідно і дос­татньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нулю.

Ф ізичний зміст: Якщо сила діє на точку М, то момент цієї сили m_A( ) відносно т. А дорівнює векторному добутку векторів і m_A( ) =  , момент відносно початку координат т. О m_o(F) = , - радіус вектор т. М.

Також за допомогою векторного добутку знаходження швидкості точки твердого тіла, що обертається навколо нерухомої осі, тобто: де вектор кутової швидкості, - радіус вектор даної точки.