§4. Наближені обчислювання визначених інтегралів

1.Формула прямокутників

, n-кількість інтервалів Δx_i

y

Δx_i x

a b

2.Формула трапецій

, n-кількість інтервалів Δx_i

y

Δx_i

a b x

3.Формула парабол (Симпсона)

y

x

a b x

Приклад:

Обчислити беспосередньо та за формулами прямокутників,

трапецій та парабол. Оцінити похибку

розіб’ємо інтервал на вісім частин, з кроком h=1

I	0	1	2	3	4	5	6	7	8
X	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	1,0000	2,6458	3,6056	4,3589	5,0000	5,5678	6,0828	6,5574	7,0000

Формула прямокутників

абсолютна похибка Δ=│38-34,8183│=3,1817, відносна

Формула трапецій

похибка:

Δ=│38-37,8183│=0,1817

Формула Симпсона

(8+4·19,1299+

+2·14,6884) 37,9655

Δ= 38-37,9655 =0,0345

Отже меншу похибку дав метод Симпсона

§5.Геометричні застосування визначеного інтегралу

1.Площа в прямокутних кординат ax

На основі геометричного змісту визначеного інтегралу площа криволінійної

трапеції aABb, обмеженою зверху неперервною кривою y=f(x), f(x) 0

, вертикалю х=a та х=b і віссю ОХ

S = (1)

Якщо ,

Якщо f(x) міняє знак скінчене число раз на проміжку [ a,b ] то інтеграл по [a;b] розбиваємо на суми інтегралів по частинними відрізкам . Щоб отримати площу потрібно знайти суму абсолютних величин інтегралів по всім відрізкам.

О

Приклад

бчислити площу обмежену синусоїдою y=sin x віссю OX х Є [ 0; 2 ]

Зауваження

В більш складних випадках фігуру представляють у вигляді суми або різниці криволінійних трапецій.

Приклад

Визначити площу S обмежену параболою

Y =x²+1 та x+y=3

1.Визначимо межі інтегрування

X=-2; x=1

Якщо криволінійна трапеція обмежена кривою, яка задана параметрично х=х(t); y=y(t) t[t₁ ; t₂]