§7 Параметричне рівняння лінії

Інколи заміст рівнянь ліній, які повязують прямокутні координати та , розглядають параметричні рівняння. Які визначають змінні величини (параметра). Наприклад в механіці т. є функція від часу .

Розглянемо параметричне рівняння кола, коло .

В .

Рівняння кола:

,

Рівняння еліпса:

Приклад: побудувати криву ; ; . - парабола.

t	-2	-1	0	1	2…
x	4	1	0	1	4…
y	-4	-2	0	2	4…

2) ,

t
x
y			0

§8 Поверхні другого порядку

1. Сфера

Означення 1. Сферою радіуса називаэться множина всых точок простору,

відстань від кодної до даної точки (центру) дорівнює .

При .

Приклад: визначити координати і . .

2. Циліндричні поверхні

Означення 2. Поверхня, що скдадається з усіх прямих, що перетинають дану

лінію називається циліндричною поверхнею.

Еліптичний циліндр:

Круговий циліндр

Параболічний циліндр:

Гіперболічний циліндр:

3. Конічні поверхні

Означення 3: поверхня, яка складається з усіх прямих, що перетинають дану

лінію і проходять через дану т. називається конічною.

Конус - еліптичний

- круговий

4. Поверхні обертання

Еліпсоїд

Гіперболоїди

Параболоїд

Гіперболічний параболоїд

П ример 6. Сегментная арка имеет вид или форму дуги окружности (рис. 4). Составить уравнение этой окружности, найти положение ее центра и радиус, если пролет арки L = MN= 20, а ее подъем , т.е. отношение ее высоты к пролету, ,

Решение. По условию L=20м, , следовательно d=5м. В выбранной системе коор­динат точки M, N, P имеют соответcтвенно координаты (-10;0), (10;0), (0;5). В силу симметрии арки относительно оси Oy центр искомой окруж­ности т. С лежит на оси Oy.

Запишем уравнение окружности: .

Поскольку окружность проходит через точки M и P, можем записать систему:

;

Решив ее, получим R=12,5 , Y₀=-7.5.

Таким образом, центром окружности является точка C(0;-7,5), а ее радиус – R=12,5 . Уравнение

окружности имеет вид:

.

Пример 7. Кривошип OA вращается с поcтоянной угловой скоростью =10 рад/c и приводит в движение ползун B с помощью шатуна AB ,причем OA=AB=80см (рис.5). Составить уравнение траек­тории средней точки М шатуна изобразить эту траекторию на рисунке.

Решение. Используя рис. 5, находим Из . .

Тогда ; .

Поскольку угловая скорость кривошипа OA постоянна, то

Где t - время

Полученные уравнения являются параметрическими уравнениями траектории точки М.

Исключив параметр t, получим каноническое уравнение траектории:

Это элипс с полуосями , изображенный на рис.5.

Розділ 4. ЕЛЕМЕНТИ МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ.