Визначений інтеграл

§ 1. Поняття визначеного інтегралу.

Нехай f(х)=у неперервна на х [a , b]

y aABb - криволінійна трапеція.

B відшукаємо її плошу.

Для цього [a, b] розіб’ємо точками на n рівних

частин. Точки m i M_i – є min та max f (x) -

інтервалу [x_i, x_i+1],

A aABb - розіб’ється на частини, площа і-ої

частини більше або дорівнює m (x_i+1 –x_i) менше

0 a x₁ x₂ b x або дорівнює М_і(х_і+1 – х_i).

Нехай Sn= S'n=

Sn S_aАВb S'n ,т.ч. Sn i S'n прямують до S_aABb , коли n

Означення Нехай f (x), x [ a; b ] - неперервна невід’ємна функція, а

границі послідовностей Sn i S'n існують і рівні, їх

значення називають площиною криволінійної трапеції.

Таким чином, нехай с_і ( х_і-1, х_і ) тоді m_i ≤ f ( c_i ) ≤ M_i домножемо його

на Δx_i та знайдемо суму усіх значень від 1 до n

Sn ≤ f ( c_i ) _∆x_i ≤ S’n, →

Означення Нехай f ( x ) визначена в будь-якому х [ a; b ]. Якщо

існує і не залежить від вибору т. с_і , то f ( x )

називають інтегрованою на проміжку [ a ; b ] , а границю -

визначеним інтегралом від функції f ( x ) на [ a ; b ] і

позначають

Властивості:

1.Для будь-якого числа α:

2. Якщо f ( x ) інтегрована на [ a; b ], то α ф-я α f ( x ) також інтегрована

на [ a; b]:

3. Інтеграл суми дорівнює сумі інтегралів, якщо ф-ії f ( x ) i g ( x )

інтегровані на [ a; b ],

4. Якщо f ( x ) i g ( x ) інтегровані на [ a; b ] i f ( x ) ≤ g ( x ), то

5. Для інтегрованої функції f ( x ) на проміжку [ a; b ] виконується:

6. Якщо f ( x ) інтегрована на [ a; b ], то вона інтегрована на проміжку

[ a; b ] крім того, якщо f ( x ) інтегрована на [ a; c ] i [ c; d ], то вона

інтегрована на проміжку [ a; b ]

Доведення: Нехай a < c < b , так як границя інтегрованної суми не

залежить від способу ділення відрізка [a ; b] то будемо ділити його таким

чином ,щоб точка С була точкою ділення , наприклад: C=Xm ,тоді

інтегральна сума розіб’ється на дві суми:

переходячи до границі , коли отримаємо:

Якщо a, b, c розташовані іншим чином, наприклад a < b < c, властивість

зберігається , дійсно:

7. Якщо інтегрована на проміжку [a ; b] функція f(x) задовільняє нерівності

, де m, M = const , відповідно min та max на [a; b] то

8.Якщо f(x) інтегрована на проміжку [a ; b], то