§2.Теореми про визначений інтеграл

1.Теорема про середнє

y Якщо функція f(x) неперервна на [a, b] тоді на

c [a, b] існує така точка С, що

f(x)

0 a c b

Доведення: можливі три випадки для a, b

1)

2) a < b

Візьмемо на проміжку [a; b] min=m та max=M значення функції

f(x), тоді з властивості (7)

розділимо його на ( b - a )

так як f(x) неперервна на [a; b]→приймає будь-яке значення на

[m; M] → існує така точка С [a ; b],що

3) a > b, то

Зауваження: теорема про середнє має геометричний зміст:

y

M

f (c)

m

0 a c b x

величина визначеного інтеграла при f ( x ) ≥ 0 дорівнює

площі прямокутника з висотою f(c) і основою b - a

2.Теорема про визначений інтеграл зі змінною верхнею межею.

Похідна інтеграла від неперервної функції зі змінною верхнею межею

існує і дорівнює значенню підінтегральної функції в точці, яка дорівнює

верхній границі т. б.

΄ Доведення: З заданої функції та властивості (6) для будь якого x та x₀ [a;b] тоді за теоремою про середнє:

де C , коли i C , якщо .

Отже знайдеться таке C ,

що f (c)

- що і потрібно було довести.

3. Теорема (формула Ньютона – Лейбніца)

Якщо f (x) неперервна на [a;b], а функція F(x) є первісна для f (x)

на [a;b], то справедлива формула

Доведення: Відповідно теоремі 2: Ф (х) = - є первісна для

f (x) на [a;b]. Так як і F (x) є первісна для f (x) на [a;b] то

Ф (х) – F(x) рівна деякій постійній С на всьому проміжку [a;b],

тобто Ф (х) = F (x) + C, надаючи х значення a, а потім b маємо:

Ф (a) = F (a) + C , але Ф (a) =

Ф (b) = F (b) + C

Ф (b) = , то С = - F (a)→ Ф (b) = F (b) – F (a)

Теорему доведено.

§ 3.Методи обчислення визначеного інтеграл

1.Метод заміни змінної інтегрування

Теорема Нехай функція f(x) неперервна в точці , де [ ],

a= тоді ,якщо має неперервну

похідну то

Доведення: За формулою Нютона-Лейбніца де F(x) –первісна для f(x) на . З іншого боку, розглянемо складену функцію , згідно правила диференціювання складеної функції

звідси випливає, що є первісною для , яка неперевна на , тоді згідно формули

Нютона-Лейбніца:

Приклади:

1) =

2)

3)

4)

2.Метод інтегрування за частинами

Теорема Нехай функції U(x) і V(x) мають неперервні похідні на [a;b]

Тоді справедлива ф-ла u(x)v'(x)dx=u(x)v(x) - v(x)u'(x)dx

або udv=uv - vdu

Доведення: використаємо відому формулу похідної добутку (uv)'=u'v+uv' проінтегруємо (uv)'dx= uv'dx+ u'vdx

(uv)'dx=uv отже uv = uv'dx+ vu'dx тобто

uv'dv=uv - vdu

Обчислити:

Приклади:

1) = = x lnx - =e·lne-1·ln1-x =e - 0 - e +1=1

2) =

Зауваження: всі методи невизначеного інтеграла діють для визначеного інтеграла (метод невизначених коефіцієнтів, метод підстановок tⁿ, тригонометричних і т.д. ) .