Пошук найбільшого та найменшого значення функції в замкненій області. Алгоритм пошуку.

1. Знайти стаціонарні точки, які належать даній області;

2. обчислити значення функції у них;

3. знайти найбільше та найменше значення фунції на лініях що обмежують область.

4. вибрати серед них Max і Min.

Приклад:

Знайти Max і Min ; .

; ( ) точка не належить D(х,у).

На обмежуючих лініях:

;

( ) точка не належить D(х,у).

; х( )

§6 Дотична площина та нормаль до поверхні.

Озн.1 Дотичною площиною до поверхні в точці М називається площина, яка має у собі усі дотичні до кривих, проведених на поверхні через точку М

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння дотичної площини в точці М(х_о;у_о) до поверхні має вигляд:

(1)

Якщо поверхня задана рівнянням , то рівняння (1) має вигляд:

Озн.2 Нормаль до поверхні - це пряма, яка проходить через точку дотику і перпендикулярна дотичній площині.

Якщо поверхня задана рівнянням , то канонічне рівняння нормалі має вигляд:

Якщо поверхня задана рівнянням , то .

Приклад : Знайти рівняння дотичної до нормалі в точці М(1;1;1) .

Розв’язання:

Нормаль:

Невизначений інтеграл

§1 Первісна та невизначений інтеграл

Означення 1. Функція F(x) називається первісною для даної функції f(x) на проміжку (а; b), якщо для будь-яких ( ) .

Теорема 1. Якщо F₁(x) і F₂(x) – дві первісні для функції f(x) на проміжку

(а; b), то різниця між ними дорівнює сталому числу.

Доведення. Нехай f(x) існує на проміжку (а; b), та F₁(x) і F₂(x) її первісні. Тобто, за означенням 1 маємо та .

За наслідком з теореми Ла-Гранжа маємо F₁(x) - F₂(x) =с, де с = const.

Тобто, .

(М₁; М₂)=с, с = const.

Наслідок. Якщо F(x) первісна для деякої функції f(x) то будь-яка інша первісна має вигляд F(x)+С.

Означення 2. Сукупність всіх первісних для функції f(x) називається невизначеним інтегралом від функції f(x) і позначається символом , де

f(x) – підінтегральна функція,

f(x)dx – підінтегральний вираз,

∫ - знак інтеграла.

Операція знаходження первісної для даної функції f(x) називається інтегруванням. Крива F(x) називається інтегральною кривою.

§2 Властивості невизначеного інтеграла

1.

2.

3.

4.

5. , де

6.

Знаки d i ∫ слідуючи один за одним в будь-якій послідовності взаємознищуються.

Доведемо 5 властивість.

Нехай F(x) – первісна f(x). За означенням 2 маємо

Тоді аF(x) є первісною для функції аf(x).

Дійсно, за означенням 1 .

§3 Таблиця невизначених інтегралів

Нехай х – незалежна змінна, функція f(x) неперервна на даному інтервалі і F(x) – її первісна.

(1)

Нехай , де - неперервна і диференційована, а - неперервна і розглянемо

(2)

В даному випадку складена функція є первісною для підінтегральної функції (2). Тоді знайдемо

Це означає

, (3)

де .

Тобто, мають місце (1) і (3).

Зауваження

Деякі перетворення диференціалів

1) , де

2) ,

3)

4)

5)

6)