Невизначені вирази

Вираз при a _n 0 , при є не визначення виду , якщо , є вирази , і т.д.

4. Границя функції

Озн 1. Число А наз. границею ф-ії f (x) при x a , якщо E>0 знайдеться таке >0, що як тільки , виконується нер-ть , тобто lim f(x) =А.

+E _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

A _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Геом. –E _ _ _ __ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Приклад. Показати , що lim (5x-2) =3

^{x 1}

Розв’язування . Знайдемо , задамо E=0,1

при Е=0,1 , .

Озн.2. Число А наз. Границею ф-ії f(x), при x , якщо знайдеться таке M (E)>0, що як тільки |x| >M виконується | | < E

тобто lim f(x) =А.

Приклад . - Довести !

^x

але |х|>M x² > M²

т.

Односторонні границі

О зн.3. Число А наз-ся правосторонньою границею ф –ії f(x), при якщо , знайдеться таке що , якщо a-x < ,тобто x>a.

a (x > a)

lim f(x) = A

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Озн.4. Число А наз-ся лівосторонньою границею ф –ії f(x) при , якщо , знайдеться таке що |f(x)-A|<E, якщо

a -x< , тобто x<0 .

(x < a) a

Теорема. Границя ф-ії f(x) в т.А існує тоді і тільки тоді, коли існує ліво- і правосторонні границі, і вони рівні.

lim f(x) = lim f(x) = k

Приклад.

f(x)=

lim x² =0 lim x =0 => lim ! =0

Озн.5. Функція f(x) наз-ся обмеженою на будь-якому інтервалі, якщо існує таке M >0, що |f(x) | M для всіх точок із нього.

Властивості границь функції

1.Якщо існує lim f(x) , то f(x) обмежена.

2. Якщо f(x) при x a має границю, то вона єдина.

3. Якщо існує lim (x)=A i lim q(x)=A , то lim f(x) A, де (х) f(x) q(x).

4. Якщо існує lim f1 (x)=A1 i lim f2 (x)=A2 i f1 f2 x u (a) =>

lim f1(x) lim f2 (x)

5. Якщо lim f(x) i q(x), x a, то

а) lim (f(x) q(x)) = lim f(x) lim q(x)

б) lim f(x) q(x) = lim f(x) lim q(x)

в) lim C f(x) = C lim f(x)

г)

6. lim C = C

7.lim f(x) = f(lim x)

Дов. 1-ого u (a) таке, що 1> |f(x)-A| |f(x)|-|A|, (x u(a), x a)

|f(x) 1+|A|, де M = 1+|A| => f(x)- обмежена

5. НЕСКІНЧЕННО МАЛІ ТА НЕСКІНЧЕННО ВЕЛИКІ ФУНКЦІЇ.

О зн.1 Якщо lim f(x) = 0, то f(x), є н.м., а якщо lim f(x) = ,

f(x)-нескінченно велика.

Як і для послідовностей має місце твердження. Якщо ф-я н.м. при x a i f(x) 0 x a з будь-якого околу а , то ф-я - н.в. при x a і навпаки.

Теорема ( зв’язку границі функції і н.м. )

Для того, щоб число А було границею ф-ї f(x) при необхідно і достатньо, щоб ф-я f(x) була рівна сумі числа А і , де

lim =0 –н.м.

Доведення.

Необхід. lim f(x) = A => f(x) = A+ (x), (x)-н.м. За означ. lim f(x)=A

=> E>0 >0 |f(x)-A| <E, |x-a| < =>за озн. 5 ф-ції f(x)-A=

(x)-н.м. f(x)= A+ (x)

Достат. f(x) =A+ (x) де (x) – н.м. при x a => lim f(x)= A

lim f(x) = lim (A+ (x)) = lim A +lim (x)= A+0=A

Порівняння нескінченно малих

Розглянемо 2 ф-ії та , які задані в деякому проміжку U(x₀) , за винятком можливо самої т. x₀, x₀, може бути скінченною або нескінченною.

Нехай (x) 0 на U(x₀) ____________________________

U(x₀)

Озн.2 Фун-ії та наз. Нескінченно малими одного і того ж порядку малості при x x₀ , якщо

Озн.3 Ф-ія наз. нескінченно малою ф-єю більш високого порядку малості, ніж при x x₀, якщо ;

І більш низького порядку малості , ніж , якщо

Озн.4 Ф-ії та наз. непорівняними , н.м.ф. при x x₀, якщо не існує і не дорівнює .

Озн.5 Ф-ії та - н.м. при x x₀ наз. еквівалентними, якщо т.б. ~

Таблиця еквівалентності н.м.ф.

1) ~ 5) e -1~

2) 6) b -1~ ln b

3) 7) ln ( (x)+1)~ (x)

4) 8) (1+ (x))^p-1~ p (x)

Приклад

Властивості б/м ф-ї

1. Алгебраїчна сума зкінченного числа н.м. ф-ій є ф-я н.м.

2. Добуток скінченого числа н.м. ф-ій є ф –я н.м.

3. Добуток н.м. ф-ї на обмежену є ф-я н.м.

Розкриття невизначених виразів:

ділення чисельника та знаменника на найвищу степінь х.

скоротити чисельник та знаменник на х-а

а) перетворенням виразів чисельника та знаменника

б) домноженням на спряжене знаменник та чисельник

в) використання таблиці еквівалентів н.м.

г)використання 1-ї чудової границі.

використання 2-ї чудової границі.

Всі інші перетворюються в ці оснсвні.