Платежная матрица

Стратегии фирмы	Стратегии поставщиков				(min)
	В1	В2	В3	В4
А1	68220	119640	18120	165820	18120
А2	63740	120760	13640	166940	13640
А3	67270	118690	21920	164970	21920
А4	59980	117000	9880	167880	9880
(max)	68220	120760	21920	167880

В такой игре имеет место полный конфликт интересов. Поэтому каждый игрок считает, что соперник выберет наихудшую для него (игрока) стратегию.

Для принятия решения фирме в каждой строке находим минимальное значение прибыли и из образовавшегося столбца минимумов выбираем максимальное значение (21 920). Аналогично для поставщиков в каждой строке находим максимальное значение прибыли и из образовавшейся строки максимумов выбираем минимальное значение (21 920).

Так, получаем, что значение 21920 – седловая точка. В этом случае имеет место чистая игра. То есть наиболее выгодным является план производства на случай срыва поставок первым и вторым поставщиком одновременно (А3–В3). Он крайне пессимистичен. Для этого необходимо производить 50 шт. фенов, 20 шт. тостеров и 145 шт. кофеварок. При этом фирма получит среднюю гарантированную величину прибыли в размере 21 920 у.е.

Пример 2. Найти решение конфликтной ситуации с платежной матрицей:

Так как = 1, = 3, то , следовательно, игра не имеет седловой точки, цена игры находится в пределах , решение можно найти в смешанных стратегиях.

Математические модели пары двойственных ЗЛП можно записать так:

найти минимум функции при ограничениях:

Найти максимум функции при ограничениях:

Симплексный метод позволяет найти решение этой системы неравенств (29).

Тогда цена игры равна:

а вероятности применения стратегий игрока II будут:

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока II

Поскольку решение системы неравенств (29) симплексным методом дает возможность найти решение двойственной задачи, то можно записать:

тогда находим также и вероятности применения стратегий игрокаI:

Таким образом, оптимальная смешанная стратегия игрока I

Практический раздел

Рассмотрим процедуру нахождения оптимальных стратегий при помощи поиска решения на примере 3:

1. Откройте новую книгу Ms Excel и создайте 2 листа с именами «Матрица» и «Решение». На листе «Матрица» введите платежную матрицу (рис. 5.1).

Рис. 5.1. Платежная матрица А

2. На листе «Решение» создайте табличную модель с формулами, которые устанавливают связи между листами и ячейками (рис. 5.2).

В ячейку К3 введите формулу связи с ячейкой другого листа С2 – «=Матрица!C2» и растяните ее до ячейки М5. Далее заполните ограничения функции F(x) двойственным преобразованием ограничений F(y), Как вы это делали в прошлой лабораторной работе. В ячейки H3:H5 и P3:P5 введите суммы строк значений ограничений. В ячейки D9 и L9 введите формулы «=СУММ(C7:E7)» и «=СУММ(K7:M7)» соответственно. В ячейки G9 и O9 введите формулу нахождения цены игры .

Рис. 5.2. Табличная модель решения игровой задачи

3. Ниже введите формулы нахождения оптимальных стратегий игроков I и II p₁, p₂ и p₃; q₁, q₂ и q₃ (рис. 5.3).

Рис. 5.3. Заполненная табличная модель решения игровой задачи

4. Если у вас заполнены обе матрицы ограничений (рис. 5.3), то запускайте Поиск решения и внесите все необходимые данные (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Окно «Поиск решения»

5. В Параметрах не забудьте установить переключатель Неотрицательные значения (если переменные должны быть положительными числами), Линейная модель (если задача, которую вы решаете, относится к линейным моделям).

6. Запустите процесс поиска решения.

7. После окончания поиска решения F(y) появилась оптимальная стратегия игрока II, сохраните найденное решение и выведите все 3 отчета.

8. После окончания поиска решения F(х) появилась оптимальная стратегия игрока I, сохраните найденное решение (рис. 5.5) и так же выведите все 3 отчета. Обратите внимание на знак ограничения.

Рис. 5.5. Решение задачи и оптимальные стратегии игроков в табличной модели

9. Проанализируйте результаты отчетов.

Попробуйте найти оптимальные стратегии игроков вручную. Меняя данные в табличной модели, диапазон С7:E7 и K7:M7, при этом наблюдать, чтобы ограничения соблюдались.