Простейшая одноканальная модель

Такой моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

Плотность распределения длительностей обслуживания:

Потоки заявок и обслуживании простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 8.1), у которого имеются два состояния:

S₀ – канал свободен (ожидание);

S₁ – канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 8.1. Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний:

Р₀(t) вероятность состояния «канал свободен»;

P₁(t) вероятность состояния «канал занят».

По размеченному графу состояний (рис.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

Система линейных дифференциальных уравнений (8.9) имеет решение с учетом нормировочного условия . Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t и выглядит следующим образом:

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно т. е.

По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную.

Абсолютная пропускная способность (А) – среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

Данная величина может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Важной характеристикой СМО, объединяющей показатели лиц, является интенсивность нагрузки: , которая показывает степень согласования входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость СМО.

Примеры типовых задач Анализ входного потока заявок

Пример 1. Результаты наблюдения за потоком покупателей в секции универмага в течение 10 дней работы и проведения регистрации количества покупателей в течение каждого часа работы представлены в табл.8.1.

Таблица 8.1

Часы Дни	1	2	3	4	5	6	7	8
1	2	4	2	3	4	3	5	2
2	3	2	3	2	7	2	3	3
3	1	3	4	3	4	6	4	2
4	4	4	4	5	9	3	4	4
5	2	1	3	7	3	6	2	3
6	3	2	3	4	5	5	3	2
7	4	3	4	3	8	3	4	3
8	1	2	2	4	3	4	2	4
9	3	4	6	3	4	2	4	2
10	2	2	3	5	6	4	2	5

Определим интенсивность входящего потока покупателей за час работы магазина и, используя критерий Пирсона с уровнем значимости = 0,05, обоснуем предположение, что поток описывается пуассоновским законом распределения (Приложение 1, 2).

Решение.

1. Сгруппируем данные по числу покупателей k, посетивших магазин в течение часа, а результаты представим в виде таблицы (табл.8.2).

Таблица 8.2

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9
f	3	19	23	21	6	4	2	1	1

Вычислим интенсивность потока:

Найдем теоретические частоты (табл. 8.3) по формуле:

Таблица 8.3

k	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	8,53	14,9	17,3	15,1	10,5	6,11	3,05	1,33	0,51

2. Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона по формуле

3. По заданному уровню значимости = 0,05 и числу степеней свободы , где n – число групп в ряду (в нашем случае n = 9), по таблице значений критических точек –распределения Пирсона определим (Приложение 2).

4. Поскольку , то можно считать в нашем случае это условие выполняется: 12,51<14,1, входящий поток покупателей описывается пуассоновским законом распределения с интенсивностью .