Основная модель управления запасами. Модель Уилсона

Существует множество моделей управления запасами той или иной степени сложности. Наиболее простой является так называемая основная модель управления запасами (модель Уилсона, система с фиксированным размером заказа). Впервые эту модель определил Р.Уилсон (R.H.Wilson) в 1927 году и носит название «формула Уилсона» или формула экономичного размера заказа (ЭРЗ) Уилсона (7.5).

Эта модель несколько оторвана от действительности, но является полезной для понимания существа предмета, проблем, основных закономерностей и подходов в области управления запасами.

При построении модели Уилсона используются следующие параметры:

1. Входные:

   1. – интенсивность потребления запаса, [ед. товара / ед. времени];

   2. s – затраты на хранение запаса, [ден. ед. / ед. товара * ед. времени];

   3. K – затраты на осуществление заказа, [ден. ед.].

2. Выходные:

   1. Q – оптимальный размер заказа, [ед. тов.];

   2. – период поставки, [ед. времени];

   3. L – общие затраты на управление запасами в единицу времени, [ден. ед./ед. времени].

Данная модель моделирует ситуацию управления запасами, которая характеризуется следующими допущениями:

1. интенсивность потребления является априорно известной и постоянной величиной ;

2. время поставки заказа является известной и постоянной величиной;

3. каждый заказ поставляется в виде одной партии;

4. затраты на осуществление заказа К не зависят от размера заказа;

5. отсутствие запаса является недопустимым.

Эта модель наиболее близка к следующим реальным ситуациям:

1. потребление основных продуктов питания, например, хлеба, молока, в санатории (оно в течение смены остается постоянным);

2. использование осветительных ламп в здании;

3. использование канцелярских товаров (бумага, блокноты, карандаши) крупной фирмой;

4. использование в производственном процессе для сборки изделий покупных комплектующих, например, гаек и болтов.

Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона графически представлены на рисунке 7.2. Все циклы изменения запасов являются одинаковыми, максимальное количество продукции, которая находится в запасе, совпадает с размером заказа Q.

Рис. 7.2. Циклы изменения уровня запаса в модели Уилсона

Построение экономико-математической модели задачи

Модель управления запасами должна минимизировать издержки по управлению запасами за весь период их хранения. Длительность этого периода значения не имеет, пусть это будет некоторый плановый период (пл. пер.).

Тогда общие затраты на управления запасами в пл. пер. L составляют

где L₁ – затраты на осуществление заказов в течение пл. пер.

L₂ – затраты на хранение запасов в течение пл. пер.

Если потребность в ресурсах составляет , а каждый заказ подается на партию размером Q, то количество заказов в течение пл. пер. составит , а затраты

При расчете L₂ исходят из среднего количества продукции, составляющей запас в течение одного цикла. Поскольку в рассматриваемой ситуации уровень запаса изменяется линейно от Q до нуля, то средний уровень запасов равен , поэтому

Тогда из формулы (7.1) следует, что

Чтобы найти экономичный размер заказа Q , минимизирующий L, найдем частную производную и приравняем ее к нулю

Теперь надо доказать. что Q – это точка минимума, а не максимума.

Рассмотрим графическое представление уравнения общей стоимости (7.1) и его компонент L₁ и L₂ (рис. 7.3).

Рис. 7.3. Распределение общей стоимости

Из рисунка следует, что если размер заказа невелик, то затраты на подачи заказа L₁ является доминирующей, потому что в этом случае заказы подаются часто, но на небольшое количество ресурса. Если же размер заказа является достаточно большим, то основной компонентой затрат являются затраты на хранение L₂, поскольку делается небольшое число заказов, но на крупные партии товара. Экстремальная точка на графике общих затрат L соответствует ситуации, когда оба вида издержек равны друг другу. Этот факт можно использовать для проверки правильности расчетов Q. Важным фактом является то, что в точке минимума кривая общих затрат заметно выравнивается. Это означает, что в данной области общие затраты не обладают высокой чувствительностью по отношению к изменениям в размере заказа. Т.е. если невозможно заказать Q единиц товара (например, если товар штучный, а значение Q – дробное), то заказ относительно близкого размера к оптимальному не приведет к значительному увеличению затрат.

После получения ответа на вопрос: сколько заказывать, ответим на вопрос когда подавать заказ. Из рис. 2. следует, что если мы знаем время доставки , то мы можем узнать какой объем запаса будет израсходован за это время

где ν - интенсивность потребления в единицу времени, а h₀ – точка заказа.

Это означает, что если при объеме запаса h₀ мы подадим заказ, то к моменту обнуления запаса (через ед. времени) заказ будет доставлен.

Период поставки и интервал между подачей заказов равен

Пример 1. Объем продажи некоторого магазина составляет в год 500 упаковок супа в пакетах. Величина спроса равномерно распределяется в течение года. Цена покупки одного пакета равна 2 руб. За доставку заказа владелец магазина должен заплатить 10 руб. Время доставки заказа от поставщика составляет 12 рабочих дней (при 6 – дневной рабочей неделе). По оценкам специалистов, издержки хранения составляют 20% среднегодовой стоимости запасов. Известно, что магазин работает 300 дней в году.

Необходимо определить:

1. сколько пакетов должен заказывать владелец магазина для одной поставки (Q);

2. частоту заказов ;

3. точку заказа h₀.

Плановым периодом является год, ν = 500 пакетов в год, K =10 руб., затраты на хранение одной единицы продукции в год составляют 20% от стоимости запаса в одну упаковку, т.е. рубля. Тогда

Поскольку число пакетов должно быть целым, то будем заказывать по 158 пакетов. При таком заказе годовые затраты равны

Подачу каждого нового заказа владелец магазина должен осуществлять через

Поскольку известно, что в данном случае год равен 300 рабочих дней, то

Заказ следует подавать при уровне запаса равном

т.е. эти 20 пакетов будут проданы в течение 12 дней, пока будет доставляться следующий заказ.