Определение характеристик и моделирование систем массового обслуживания Потоки событий

Рассмотрим на оси времени некоторый промежуток времени . Допустим, вероятность попадания случайного события на этот промежуток , а полное число возможных событий – n. При наличии свойства ординарности потока событий вероятность р должна быть достаточно малой величиной, а n – достаточно большим числом, поскольку рассматриваются массовые явления. В этих условиях для вычисления вероятности попадания на промежуток времени некоторого числа событий m можно воспользоваться формулой Пуассона:

где величина среднее число событий, попадающих на промежуток времени , которое можно определить через интенсивность потока событий следующим образом:

Размерность интенсивности потока есть среднее число событий в единицу времени. Между n и , р и имеется следующая связь:

где t – весь промежуток времени, на котором рассматривается действие потока событий.

Вероятность того, что число заявок, поступающих на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона (Приложение 1):

где – интенсивность поступления потока заявок, среднее число событий в СМО за единицу времени, например

Интенсивность потока прохода очереди, определяемая средним числом заявок, проходящих на обслуживание в единицу времени:

где – среднее время ожидания обслуживания в очереди.

Интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени:

где – среднее время обслуживания заявок.

Кроме понятия простейшего потока событий часто приходится пользоваться понятиями потоков других типов. Поток событий называется потоком Пальма, когда в этом потоке промежутки времени между последовательными событиями являются независимыми, одинаково распределенными, случайными величинами, но в отличие от простейшего потока не обязательно распределенными по показательному закону. Простейший поток является частным случаем потока Пальма.

Важным частным случаем потока Пальма является так называемый поток Эрланга. Этот поток получается «прореживанием» простейшего потока. Такое «прореживание» производится путем отбора по определенному правилу событий из простейшего потока. Например, условившись учитывать только каждое второе событие из образующих простейший поток, мы получим поток Эрланга второго порядка. Если брать только каждое третье событие, то образуется поток Эрланга третьего порядка и т.д. Можно получить потоки Эрланга любого k-то порядка. Очевидно, простейший поток есть поток Эрланга первого порядка.

Любое исследование СМО начинается с изучения того, что необходимо обслуживать, следовательно, с изучения входящего потока заявок и его характеристик.

Поскольку моменты времени и интервалы времени поступления заявок , затем продолжительность операций обслуживания и время ожидания в очереди , а также длина очереди – случайные величины, то, следовательно, характеристики состояния СМО носят вероятностный характер, а для их описания следует применять методы и модели ТМО.