Оптимизация портфеля ценных бумаг
Допустим, имеется
множество активов
,
а ожидаемые доходы для них соответственно
равны
.
Доли каждого из этих активов в портфеле
соответственно равны
и являются переменными, которые могут
корректироваться.
Риск портфеля
определяется как средневзвешенная
величина рисков активов
.
Цель процедуры оптимизации заключается в максимизации дохода по портфелю при заданном ограничении уровня риска портфеля или в минимизации риска портфеля при заданном ограничении уровня дохода по портфелю ЦБ.
Построение экономико-математической модели задачи
Определим оптимальные пропорции (веса) каждого из активов, которые приведут к максимальному ожидаемому доходу при условии заданного максимального уровня риска. Эта задача может быть сформулирована следующим образом.
Ограничения:
1) риск
портфеля не должен превышать
;
2) в каждый актив обязательно должны быть проведены положительные инвестиции;
3) все средства должны быть полностью инвестированы.
Таким образом, ограничения имеют следующий вид:
Все ограничения линейны и представлены в виде равенств и неравенств. Целевая функция имеет вид:
Поскольку доход по каждому активу предопределен, то в целевой функции могут изменяться только веса.
Определим оптимальные пропорции (веса) каждого из активов, которые приведут к минимальному ожидаемому риску портфеля ЦБ при условии заданного максимального уровня дохода. Эта задача может быть сформулирована следующим образом.
Ограничения:
1) доход
портфеля не должен превышать
;
2) в каждый актив обязательно должны быть проведены положительные инвестиции;
3) все средства должны быть полностью инвестированы.
Таким образом, ограничения имеют следующий вид:
Все ограничения линейны и представлены в виде равенств и неравенств. Целевая функция имеет вид:
Поскольку риск каждого актива предопределен, то в целевой функции могут изменяться только веса.
Практический раздел Оптимальный портфель инвестиций с максимальным доходом
Пример 1. Инвестирование касается трех ценных бумаг, для которых известна только доходность за 12 месяцев и известна доходность рынка за этот период (табл. 6.1). Причем, зафиксированное ограничение на величину риска = 0,5 и на величину первой ценной бумаги в портфеле – не больше чем 1/3 общей суммы портфеля. Необходимо определить значения оптимального портфеля, которое обеспечит максимальный доход.
Таблица 6.1
Проценты доходности ценных бумаг и рынка
Месяц |
Доходность ЦБ (%) |
Доходность рынка ЦБ (%) |
||
ЦБ 1 |
ЦБ 2 |
ЦБ 3 |
||
Январь |
3,0 |
2,5 |
4,9 |
1,5 |
Февраль |
1,3 |
2,0 |
2,0 |
2,6 |
Март |
2,6 |
2,6 |
1,9 |
4,3 |
Апрель |
-1,6 |
-2,2 |
-2,8 |
-1,2 |
Май |
-2,1 |
1,4 |
6,9 |
1,8 |
Июнь |
3,6 |
1,7 |
-3,5 |
0,9 |
Июль |
3,8 |
3,1 |
1,3 |
4,1 |
Август |
8,9 |
3,5 |
7,2 |
7,9 |
Сентябрь |
9,0 |
9,5 |
2,1 |
8,1 |
Октябрь |
8,3 |
9,0 |
1,1 |
9,2 |
Ноябрь |
3,5 |
-2,2 |
0,6 |
2,6 |
Декабрь |
1,6 |
7,5 |
9,8 |
2,0 |
Найдем оптимальный портфель инвестиций при помощи поиска решения.
Создайте таблицу с формулами, которые устанавливают связи между ячейками (рис. 6.1).
В ячейку D17 введите формулу вычисления среднего дохода – «=СРЗНАЧ(D4:D15)» и растяните ее до ячейки F17. В ячейку С16 введите формулу вычисления вариации – «=ДИСПР(С4:С15)». В ячейку D18 введите формулу вычисления ковариации – «=КОВАР(С4:С15; D4:D15)», ячейки E18 и F18 заполните самостоятельно. В ячейку H22 введите формулу ограничения на величину первой ценной бумаги в портфеле «=G22/3». В ячейку G23 введите ограничение на величину риска.
Рис. 6.1. Табличная модель нахождения оптимального портфеля ЦБ
с условием максимизации доходности портфеля
Имея значения вариации доходности рынка и ковариаций, можно вычислить значения риска. В ячейку D23 введите «=(D18/C16)*D22», ячейки E23 и F23 заполните самостоятельно. И выведите сумму значений в ячейку С23. В ячейку С22 выведите сумму удельных весов ЦБ.
В ячейки D24:F24 введите произведения средней доходности ЦБ и удельного веса ЦБ, и выведите их сумму в целевую ячейку.
Запустите Поиск решения и внесите все необходимые данные (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Окно «Поиск решения»
В Параметрах не забудьте установить переключатель Неотрицательные значения (если переменные должны быть положительными числами), Линейная модель (если задача, которую вы решаете, относится к линейным моделям).
Запустите процесс поиска решения.
После окончания поиска сохраните найденное решение (рис. 6.3) и выведите все 3 отчета.
Рис. 6.3. Результаты определения оптимального портфеля ЦБ в табличной модели
с условием максимизации доходности портфеля
Проанализируйте результаты отчетов.
Найдите оптимальный портфель ЦБ при помощи Поиска решения и проанализируйте результаты отчетов.
Попробуйте составить оптимальный портфель ЦБ вручную. Меняя данные в табличной модели, диапазон D22:F22, добиться максимального результата целевой функции в ячейке С24 и при этом наблюдать, чтобы все ограничения соблюдались.
Составьте свой вариант модели нахождения оптимального портфеля ЦБ с ограничением уровня риска для Поиска решения.