2. Побудова евклідової геометрії на базі системи аксіом Гільберта.

а) Огляд системи аксіом Гільберта евклідової геометрії.

Аксіоматичне обґрунтування геометрії вперше було дано Гільбертом в 1899 р. після того, як була відкрита неевклідова геометрія. Невдовзі після цього з’явилися системи аксіом Пеано. Кагана, Шура та ін. Система аксіом Гільберта складається з 20 аксіом, які розбиті на п’ять груп.

В першій групі містяться вісім аксіом приналежності (інцидентності). Вони описують властивості основних об’єктів – точок, прямих, площин, пов’язаних основним відношенням – відношенням інцидентності. З аксіом 1.7.-1.8. випливає, що розмірність простору дорівнює трьом.

Друга група аксіом містить чотири аксіоми порядку. Основне відношення – лежати між – формулюється для трьох точок, інцидентних одній прямій.

Аксіоми третьої групи називаються аксіомами конгруентності. Вони описують властивості основного відношення цієї групи – відношення конгруентності. Воно задається на множинах відрізків та кутів.

Четверта група аксіом називається групою аксіом неперервності. В ній немає основного відношення. Дві аксіоми цієї групи описують властивості неперервності розташування точок на прямій (взаємно однозначна відповідність між множиною точок прямої і множиною дійсних чисел) і є базою для введення понять довжини відрізка та величини кута. Обидві ці аксіоми можна замінити одним твердженням – аксіомою Дедекінда (Додаток Б).

П’ята група складається з однієї аксіоми – аксіоми паралельності. Ця аксіома відіграє ключову роль в побудові саме евклідової геометрії, без неї неможливо довести такі важливі теореми: сума кутів будь-якого трикутника дорівнює ; навколо кожного трикутника можна описати коло; вписаний в коло кут, що спирається на його діаметр, є прямим; в будь-якому прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів його катетів та ін..

б) Наслідки з аксіом перших трьох груп.

Зауваження. Прослідкуємо лише за побудовою аксіоматичної теорії евклідової планіметрії. Її система аксіом включає аксіоми 1.1-1.3 системи Гільберта та всі аксіоми інших груп цієї системи.

Послідовність введення означень понять і доведення теорем про властивості цих понять можна прослідкувати в Додатку Г. Зокрема, після формулювання аксіом перших трьох груп можна дати означення відрізка, кута, трикутника. Серед наслідків з аксіом перших трьох груп особливу роль відіграє теорема про зовнішній кут трикутника. Наведемо її з доведенням, а наслідки з неї можна знайти в практичних заняттях.

Теорема 30. Зовнішній кут трикутника більший за кожний внутрішній кут, не суміжний із ним.

Д оведення. Розглянемо трикутник . За теоремою 23 існує єдина точка така, що . На промені існує єдина точка така, що (аксіома 3.1). Проведемо відрізок . Далі розглянемо трикутники та , які за теоремою 14 будуть рівні, отже . Розглянемо дві півплощини та відносно прямої . Оскільки за побудовою відрізок перетинається з в точці , то за теоремою 10 точки і лежать в різних півплощинах. Також, з того, що перетинається з в точці , випливає, що точки і лежать різних півплощинах відносно прямої . Отже, точки і лежать в одній півплощині. Тоді промінь є внутрішнім променем кута , звідки . Аналогічно доводиться, що .

в) Обґрунтування теорії вимірювання відрізків за допомогою аксіом четвертої групи. Поняття абсолютної геометрії.

Дотепер ми порівнювали відрізки або кути за допомогою неозначуваного поняття третьої групи «конгруентність». Для введення поняття довжини відрізка аксіом перших трьох груп недостатньо. Аксіоми Архімеда і Кантора системи Гільберта дозволяють обґрунтувати теорію вимірювання відрізків і кутів. В системі аксіом Погорєлова евклідового простору (додаток В) в четвертій групі є лише одна аксіома – Дедекінда. Виявляється, що аксіома Дедекінда еквівалентна сукупності аксіом Архімеда і Кантора. Доведення відповідних теорем можна знайти, наприклад, в книзі [8].

Задача вимірювання довжин відрізків полягає в тому, щоб задати відношення будь-якого відрізка до деякого фіксованого відрізка дійсним числом. Цей фіксований відрізок називають лінійною одиницею (або одиницею вимірювання довжин).

Означення. Нехай задана відповідність, при якій кожному відрізку зіставляється певне додатне число так, що:

1. конгруентним відрізкам відповідають рівні числа;

2. якщо В – внутрішня точка відрізка АC та відрізку AB відповідає число а, а відрізку ВС відповідає число b, то відрізку AC буде відповідати число a+b;

3. існує відрізок, якому відповідає число 1.

Тоді число, що відповідає відрізку, називається його довжиною.

Таке означення вимагає доведення його коректності. В аксіоматичній теорії за Гільбертом, викладеній в книзі [8] це зроблено наступним чином. Спочатку із припущення існування такої відповідності доводиться, що вона єдина, тобто доводиться

Теорема. Якщо вказана в означенні відповідність існує та задовольняє умовам 1, 2, 3, то вона єдина.

Далі доводиться

Теорема. Вказана у визначенні відповідність існує та задовольняє умовам 1, 2 та 3.

Важливим моментом в доведенні останньої теореми є використання аксіоми Архімеда. Фактично доведення є певною мірою конструктивним, оскільки містить описання процесу, який дозволяє для обраного відрізка знаходити відповідне йому додатне дійсне число.

Але відомий в евклідовій геометрії факт, що довжини всіх відрізків вичерпують всі додатні дійсні числа, не випливає з аксіом перших трьох груп і аксіоми Архімеда. Тому далі доводиться

Теорема. Для будь-якого дійсного числа існує відрізок, довжина якого дорівнює .

При доведенні цієї теореми використовується друга з аксіом неперервності – аксіома Кантора.

Аналогічні міркування потрібні для введення поняття величини кута. Якщо одиницю вимірювання кутів вибрати так, щоб прямому куту відповідало число , то між множиною всіх кутів і множиною всіх дійсних чисел з інтервалу встановлюється взаємно однозначна відповідність. Прийнято одиницю вимірювання кутів вибирати так, щоб прямому куту відповідало дійсне число .

Після обґрунтування процесу вимірювання відрізків і кутів з’являється можливість користуватись в геометрії алгеброю. Зокрема, можна ввести систему координат на прямій, на площині, в просторі. А введення координат на прямій, в свою чергу, дозволяє сформулювати наступну важливу теорему.

Теорема. Між впорядкованою множиною всіх точок прямої і впорядкованою множиною всіх дійсних чисел існує така взаємно однозначна відповідність, при якій відповідні елементи знаходяться у відповідних відношеннях порядку.

Зауваження. Вказана властивість прямої називається неперервністю. Також ця теорема показує ізоморфізм двох моделей однієї математичної структури, яку називають лінійним порядком.

Абсолютною геометрією називається аксіоматична теорія, побудована на перших чотирьох групах аксіом Гільберта.

Прикладами теорем абсолютної геометрії є всі теореми з номерами 1– 46 аксіоматичної теорії, викладеної в книзі [8] (див. також Додаток Г). Наведемо ще список важливих теорем абсолютної геометрії, які були доведені в роботах Саккері, Лежандра, Ламберта в ході їх досліджень, пов’язаних з проблемою п’ятого постулату.

Теорема. Сума всіх внутрішніх кутів довільного трикутника не перевищує .

Теорема. Якщо сума кутів хоча б одного трикутника дорівнює двом прямим кутам, то сума кутів будь-якого трикутника дорівнює двом прямим кутам.

Теорема. Якщо в даному трикутника сума всіх внутрішніх кутів дорівнює і цей трикутник ділиться трансверсаллю на два трикутники, то сума внутрішніх кутів кожного з цих трикутників теж дорівнює .

Теорема. Якщо існує трикутник, в якому сума всіх внутрішніх кутів не перевищує , то і в будь-якому трикутнику сума внутрішніх кутів не перевищує .

г) Сутність проблеми 5 постулату Евкліда. Еквівалентність аксіоми паралельності та п’ятого постулату Евкліда. Інші еквіваленти п’ятого постулату.

5 п. Якщо при перетині двох прямих третьою сума двох внутрішніх односторонніх кутів менша за , то ці прямі перетинаються з тієї сторони, з якої ця сума менша за .

5 п. V. Якщо має місце 5 постулат Евкліда, то через кожну точку, яка не належить довільно заданій прямій, проходить не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму.

Доведення. Нехай - дана пряма, і ,

1).За теоремою 44 існує пряма , яка паралельна прямій .

2) Доведемо, що будь-яка інша пряма не може бути паралельною прямій .

3) Нехай півпрямі прямої утворюють з перпендикуляром суміжні кути та . Оскільки , то має місце одна з нерівностей або . Пари кутів і , і є внутрішніми односторонніми при перетині прямих та прямою . Ми довели, що одна із сум і менша за .

4) За умовою має місце 5 постулат Евкліда. Отже, прямі та перетинаються в тій півплощині відносно прямої , яка містить внутрішні односторонні кути з меншою за сумою.

Ми довели, що пряма єдина, тобто має місце аксіома паралельності V.

V 5 п. Якщо через кожну точку, що не належить довільно заданій прямій, проходить рівно одна пряма, паралельна даній, то має місце 5 постулат Евкліда.

Доведення. Нехай - дана пряма, .

1) За умовою через точку проходить лише одна пряма, паралельна , позначимо її . Отже, будь-яка пряма перетинає пряму .

2) Нехай півпрямі прямої утворюють з довільною півпрямою , кути та , причому нехай для визначеності . Тоді одна з півпрямих прямої є внутрішньою півпрямою кута .

3) Позначимо символом кут між цією півпрямою та півпрямою , а рівний йому навхрест лежачий кут при перетині прямих та прямою – символом . Тоді .

4) Нехай пряма перетинає пряму в півплощині, яка містить кут і – точка перетину. Тоді для трикутника кут є внутрішнім, а кут – несуміжним із ним зовнішнім кутом. Оскільки , то маємо протиріччя із теоремою про зовнішній кут трикутника.

Отже, пряма перетинає пряму в півплощині, яка містить кути та , що і доводить справедливість 5 постулату Евкліда.

Наведемо список еквівалентів 5 постулату Евкліда в тій послідовності, в якій їх зручно доводити, посилаючись на попередні.

П.1. Перпендикуляр і похила, проведені до однієї прямої в одній площині, обов’язково перетинаються (твердження Лежандра).

П.2. Два серединних перпендикуляри до сторін трикутника завжди перетинаються.

П.3. Навколо кожного трикутника можна описати коло (твердження Ф. Бойяї).

П.4. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника дорівнює .

П.5. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника одна і та сама.

П.6. Існують два подібних і не конгруентних трикутники.

П.7. Існують принаймні один прямокутник і один квадрат.

П.8. Існує принаймні один опуклий чотирикутник із рівною сумою внутрішніх кутів.

П.9. Сторона правильного вписаного в коло шестикутника дорівнює радіусу цього кола.

П.10. Три різні точки, рівновіддалені від даної прямої і розташовані в одній півплощині відносно цієї прямої, належать одній прямій (колінеарні).