II. Аксіоми порядку

2.1. Якщо – три точки однієї прямої і точка лежить між точками , то: а) точки різні, б) точка лежить між точками .

2.2. Для будь-яких двох точок прямої існує точка цієї прямої така, що точка лежить між точками .

2.3. Для трьох різних точок прямої не більше однієї з них лежить між двома іншими.

2.4. (Аксіома Паша). Нехай задано трикутник і в його площині пряма , що не проходить ні через одну з точок . Якщо пряма перетинає одну сторону трикутника, то вона перетинає також або другу сторону або третю сторону .

III. Аксіоми конгруентності

3.1. Якщо , - дві точки на прямій і – точка на тій же прямій або на іншій прямій , то завжди можна знайти на заданій півпрямій прямої з початком одну і тільки одну точку таку, що відрізок конгруентний відрізку ( ). Для кожного відрізка має місце конгруентність .

3.2. Якщо , , то .

3.3. Нехай і – два відрізка на прямій без спільних внутрішніх точок, і нехай і – два відрізка на тій же або інший прямий , що також не мають спільних внутрішніх точок. Якщо і , то .

3.4. Нехай дано на площині , пряма на цій же або іншій площині і одна з двох півплощин відносно прямої . Нехай - промінь прямої , що виходить з точки . Тоді на площині існує один і тільки один промінь такий, що і при цьому всі внутрішні точки лежать в вибраній півплощині відносно . Якщо , то . Потрібно також, щоб і .

3.5. Нехай – три точки, що не лежать на одній прямій, і теж три точки, що не лежать на одній прямій. Якщо при цьому , і , тоді .

IV. Аксіоми неперервності

4.1. (Аксіома Архімеда). Нехай дано два довільних відрізка і . Існує таке натуральне , що .

4.2. (Аксіома Кантора). Нехай на прямій задано послідовність відрізків, які відповідають двом вимогам: 1) кожен наступний відрізок вкладений у попередній; 2) не існує відрізка, що належить усім відрізкам послідовності. Тоді існує точка, що належить кожному з відрізків послідовності.

V. Аксіома паралельності

Через будь-яку точку, яка не належить даній прямій, в площині, що визначається ними, можна провести не більше однієї прямої, що не перетинає дану пряму.

Додаток В

Система аксіом Погорєлова евклідового простору Основні об'єкти: точка, пряма, площина

1. Аксіоми зв'язку:

1) Які б не були дві точки і , існує пряма , що проходить через точку і точку .

2) Які б не були дві точки і , існує не більше однієї прямої, яка проходить через ці точки.

3) На кожній прямій лежать, принаймні, дві точки. Існують три точки, що не лежать на одній прямій.

4) Які б не були три точки , існує площина , що проходить через кожну з цих точок.. На кожній площині лежить хоча б одна точка.

5) Які б не були три точки , що не лежать на одній прямій, існує не більше однієї площини, що проходить через кожну з цих точок.

6) Якщо дві точки і прямої лежать в площині , то пряма лежить на площині.

7) Якщо дві площини і мають одну спільну точку (точку, що лежить на кожній з цих площин), то вони мають ще принаймні одну спільну точку .

8) Існують, принаймні, чотири точки не лежать в одній площині.