Задачі для самостійного розв’язання

1. Довести, що якщо існує трикутник із сумою внутрішніх кутів, рівною двом прямим кутам, то сума внутрішніх кутів довільного трикутникам дорівнює двом прямим кутам.

2. Довести, що якщо існує прямокутний трикутник із сумою внутрішніх кутів, рівною двом прямим кутам, то сума внутрішніх кутів довільного прямокутного трикутникам дорівнює двом прямим кутам.

3. Довести, що вписаний в коло кут, що спирається на діаметр, не більший за прямий кут.

4. Знайти залежність між стороною правильного вписаного в коло шестикутника і радіусом кола.

Тема 6: Наслідки з аксіоми паралельності. Еквіваленти п’ятого постулату.

Мета: Сформувати вміння знаходити і доводити еквівалентність твердження евклідової геометрії і п’ятого постулату Евкліда

Методичні рекомендації. Важливо зрозуміти, якими є перші твердження, доведення яких неможливе без використання аксіоми паралельності. Треба повторити, які твердження називаються еквівалентними. Зверніть увагу на еквівалентність аксіоми паралельності та п’ятого постулату Евкліда. Буде корисним проаналізувати, як зміниться послідовність тверджень, якщо в системі аксіом Гільберта замінити аксіому паралельності одним із її еквівалентів.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Довести, що при перетині двох паралельних прямих третьою утворюються рівні навхрест розташовані кути.

Доведення. Сформульоване твердження в «Началах» Евкліда було теоремою 29 і це була перша теорема, в доведенні якої використовувався 5 постулат.

Паралельні прямі а і утворюють з їх січною 2 пари навхрест розташованих кутів, які позначимо 1 і 4, 2 і 3, а пари 1 і 2, 3 і 4 – пари односторонніх кутів, 1 і 3 – суміжні. Припустимо, що кут 1 не дорівнює куту 4, і для визначеності, нехай кут 1 більше за кут 4. Тоді сума кутів 3 і 4 менша за розгорнутий кут, а отже за 5 постулатом прямі а і перетинаються. Отримане протиріччя доводить теорему.

Задача 2. Довести, що сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює сумі двох прямих кутів.

Д оведення. Розглянемо трикутник . Проведемо пряму . З теореми 47 випливає, що , . Оскільки кути утворюють розгорнутий кут, то для суми кутів трикутника отримаємо , що і треба було довести.

Довести еквівалентність п’ятого постулату та наступних тверджень:

Задача 3. Перпендикуляр і похила, проведені в одній площині до даної прямої, перетинаються.

Д оведення. 1) Покажемо, що це твердження випливає з п’ятого постулату. До прямої в точці проведемо перпендикуляр та похилу . Проведемо ще один перпендикуляр до прямої . За теоремою 45 і паралельні. Приспустимо, що і не перетинаються, тоді отримаємо протиріччя з аксіомою паралельності, яка еквівалентна п’ятому постулату.

2 ) Покажемо, що з твердження випливає аксіома паралельності. Розглянемо пучок прямих, що проходять через точку . В цьому пучку є єдина пряма, яка не є похилою, це пряма , перпендикулярна до прямої . За умовою кожна похила перетинає перпендикуляр . Отже, через точку , яка не належить прямій , проходить єдина пряма , яка не перетинає пряму , тобто виконується аксіома паралельності.

Задача 4. Навколо кожного трикутника можна описати коло.

Доведення. 1) Покажемо, що з аксіоми паралельності випливає твердження: Два серединних перпендикуляра до двох сторін трикутника завжди перетинаються.

В трикутнику проведемо серединні перпендикуляри і до сторін і відповідно. Припустимо, що прямі і не перетинаються, тобто паралельні. Проведемо через точку пряму , перпендикулярну до . За теоремою 45 прямі і не перетинаються. Таким чином, через точку проходить дві різні прямі, які не перетинають . Отримали протиріччя з аксіомою паралельності, значить наше припущення невірне.

Точка перетину серединних перпендикулярів і є центром описаного навколо трикутника кола.

2) Тепер покажемо, що з цього твердження випливає аксіома паралельності.

Д о прямої проведемо перпендикуляр та похилу . На прямій візьмемо точку , симетричну їй відносно прямої точку та симетричну їй відносно прямої точку . Очевидно, що точки не належать одній прямій, тобто утворюють трикутник. За побудовою і – серединні перпендикуляри до двох сторін цього трикутника. За умовою, навколо можна описати коло, а значить і , а значить перпендикуляр і похила до однієї прямої перетинаються. В попередній задачі було доведено, що з цього факту випливає аксіома паралельності.

Задача 5.Сума внутрішніх кутів в кожному трикутнику одна і та сама.

Д оведення. 1) В задачі 2 цієї теми показано, що з аксіоми паралельності випливає, що в кожному трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює двом прямим кутам, тобто одна і та сама.

2) Покажемо як з твердження випливає п’ятий постулат. В трикутнику позначимо кути так, як показано на рисунку. Можна записати такі рівності:

,

,

,

Запишемо вирази та . Знайдемо суми правих та лівих частин двох останніх рівностей

,

звідки

.

Твердження про те, що в кожному трикутнику сума внутрішніх кутів дорівнює , еквівалентне п’ятому постулату.