3. Доведення несуперечливості системи аксіом Гільберта. Арифметична модель.

Побудуємо арифметичну модель системи аксіом Гільберта та перевіримо аксіоми планіметрії. Дамо такі означення неозначуваним поняттям:

«Точкою» назвемо впорядковану пару дійсних чисел: .

«Прямою» назвемо набір впорядкованих пропорційних трійок дійсних чисел: , в якому .

Будемо говорити, що «точка належить прямій », якщо виконується умова .

Якщо три попарно різні точки , , належать одній прямій , для якої , і виконується умова (або умова ), то будемо називати точку такою, що «лежить між» точками та .

Два відрізка називаються «конгруентними», якщо існує ортогональне перетворення, яке відображає один відрізок на інший.

Два кути називаються «конгруентними», якщо існує ортогональне перетворення, яке відображає один кут на інший.

Перевірку аксіом системи Гільберта детально викладено в книзі [8].

Тема 5. Геометрія Лобачевського

Мета: Ознайомитися з основними фактами геометрії Лобачевського, значенням відкриття Лобачевського. Навчитися доводити прості теореми геометрії Лобачевського.

План:

1. Відкриття Лобачевського. Неевклідова геометрія.

2. Аксіоматична теорія геометрії Лобачевського.

а) Аксіома Лобачевського. Означення і властивості паралельних і розбіжних прямих в геометрії Лобачевського.

б) Основні факти геометрії Лобачевського.

3. Дослідження системи аксіом планіметрії Лобачевського. Інтерпретації Пуанкаре.

4. Значення геометрії Лобачевського.

Ключові поняття: аксіома Лобачевського, паралельні прямі, розбіжні прямі, функція Лобачевського, орицикл, еквідістанта.

1. Відкриття Лобачевського. Неевклідова геометрія.

У лютому 1826 професор Казанського університету М. І. Лобачевський виступив перед вченою радою фізико-математичного факультету з доповіддю, в якій виклав основи нової геометрії. Головна ідея полягала в тому, що аксіома Евкліда про паралельні незалежна від інших аксіом геометрії Евкліда і, отже, можна побудувати іншу геометрію, настільки ж несуперечливу, як і евклідова, якщо в системі аксіом евклідової геометрії замінити аксіому про паралельні на протилежне твердження. У наступні роки Лобачевський всебічно розвинув теорію нової геометрії і вказав ряд її додатків в області математичного аналізу. Одночасно з Лобачевским ті ж ідеї були розвинені молодим угорським математиком Яношем Больяї. Значення неевклідових геометрій полягає насамперед у тому, що їх побудова і доведення несуперечливості являє собою остаточне вирішення проблеми п’ятого постулату, що була нерозв’язаною протягом двох тисячоліть. Надалі ці геометрії знайшли найрізноманітніші застосування в задачах самої математики і в теоретичній фізиці. Вони стали великою подією в розвитку математики XIX ст., фактом, який суперечив всім сформованим на той час уявленням про природу математичного знання. Відкриття Лобачевского і Больяї привело математиків до корінного перегляду уявлень про власну науку, про її функції в системі знання, про методи побудови і обґрунтування математичних теорій.

Великий внесок у правильне розуміння неевклідових геометрій вніс видатний французький математик А. Пуанкаре. Він був одним з перших математиків, які побачили неспроможність чисто емпіричного розуміння геометрії. А. Пуанкаре винайшов модель геометрії Лобачевського на множині об’єктів евклідової геометрії, що доводило її несуперечливість. Вперше ж аксіоматику площини Лобачевського вдалося реалізувати італійському геометру Бельтрамі на спеціальній поверхні – псевдосфері – як внутрішню геометрію цієї поверхні.