4. Площі та об’єми. Третя проблема Гільберта.

5. Розбити наступні теореми на три групи: теореми абсолютної геометрії, наслідки аксіоми паралельності Евкліда, наслідки аксіоми паралельності Лобачевського.

1. Перпендикуляр і похила до однієї прямої, розташовані в одній півплощині відносно цієї прямої, не завжди перетинаються.

2. Існують трикутники, навколо яких не можна описати коло.

3. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника не більша за .

4. Теорема синусів.

5. Теорема косинусів.

6. Теорема Піфагора.

7. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі.

8. Діагоналі прямокутника рівні між собою.

9. Точка перетину діагоналей трапеції, точка перетину продовжень її бічних сторін і середини основ трапеції належать одній прямій.

10. Сума квадратів сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів його діагоналей.

11. Сума внутрішніх кутів трикутника не є постійною.

12. Множина точок площини, рівновіддалених від даної прямої є кривою.

13. Катет прямокутного трикутника, який є протилежним до кута з величиною , більший за половину гіпотенузи.

14. Якщо сума внутрішніх кутів трикутника є постійною, то має місце 5 постулат Евкліда.

15. Якщо два серединних перпендикуляра до сторін трикутника перетинаються в деякій точці О, то третій серединний перпендикуляр теж проходить через точку О.

16. Якщо два серединних перпендикуляра до сторін трикутника перетинаються в деякій точці О, то навколо цього трикутника можна описати коло з центром в точці О.

17. Сума внутрішніх кутів будь-якого трикутника менша .

18. Сума внутрішніх кутів будь-якого опуклого чотирикутника не більша за .

19. Якщо три кути одного трикутника дорівнюють відповідно трьом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

20. Для будь-яких двох паралельних прямих існує і тільки одна пряма, яка перпендикулярна одній із двох даних прямих і паралельна другій.

21. Ортогональна проекція однієї із сторін гострого кута на другу сторону є півінтервалом.

22. Катет прямокутного трикутника, який є протилежним до кута з величиною , не менший за половину гіпотенузи.

23. В прямокутному трикутнику величина хоча б одного з гострих кутів менша за .

24. Середня лінія трикутника менша за половину його основи.

25. Будь-які дві паралельні прямі мають вісь симетрії.

6. Підготувати доповідь за темою:

• Історичний огляд обґрунтування геометрії. «Начала» Евкліда: зміст, структура, недоліки;

• Редукция аксиом линейного пространства;

• Перша проблема Гільберта;

• Дослідження Саккері, Ламберта, Лежандра;

• Проблема п’ятого постулату та історія її вирішення. Помилкові доведення п’ятого постулату Евкліда;

• Вимірювання площ простих многокутників. Рівновеликі та рівноскладені многокутники;

• Теорія об’ємів многогранників. Третя проблема Гільберта та її розв’язання. Рівновеликість і рівноскладенність многогранників. Теорема Бойяї-Гервіна. Теорема Дена-Кагана.

7. Впорядкованість на множині дійсних чисел

В аксіоматичній теорії, що будується на базі системи аксіом з Додатку Ґ, відношення порядку є основним, тобто його не треба означувати.

Інший варіант – за допомогою поняття перерізу множини, а саме:

Означення. Нехай . Тоді будемо говорити, що , якщо , , якщо , , якщо .

Користуючись цим означенням, доведіть такі твердження.

Теорема. Для будь-яких дійсних справедливе тільки одно із співвідношень: , , .

Теорема. Між будь-якими двома дійсними числами існує скільки завгодно дійсних чисел.