Задачі для самостійного розв’язання

Задача 1. Довести, що п’ятий постулат Евкліда еквівалентний твердженням:

1. Існують два подібних, але не рівних трикутника.

2. Існує принаймні один чотирикутник з чотирма прямими кутами.

3. Існує принаймні один прямокутник і принаймні один квадрат.

4. Існує принаймні один опуклий чотирикутник із сумою кутів .

5. Сторона правильного вписаного в коло шестикутника дорівнює радіусу кола.

6. Три точки, розташовані в одній півплощині відносно даної прямої, і рівновіддалені від неї, належать одній прямій.

7. Існують два подібних і не конгруентних трикутника

8. Існує принаймні один чотирикутник з чотирма прямими кутами.

Задача 2. Чи використовується п’ятий постулат Евкліда при доведенні наступних теорем

- середня лінія трикутника паралельна основі і дорівнює половині основи;

- теорема косинусів;

- теореми Піфагора;

- при перетині двох паралельних прямих третьою відповідні кути рівні між собою;

- при перетині двох прямих третьою сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює .

Тема 7: Планіметрія Лобачевського.

Мета: Сформувати навички доведення основних теорем планіметрії Лобачевського.

Методичні рекомендації. При доведенні теорем планіметрії Лобачевського часто використовуються теореми абсолютної геометрії.

Приклади розв’язання задач

Задача 1. Довести справедливість твердження в геометрії Лобачевского: «Середня лінія трикутника менша половини його основи».

Д оведення. Розглянемо трикутник , – середня лінія. Доведемо, що .

Через середини сторін і проведемо пряму і опустимо на неї перпендикуляри з вершин трикутника. Рівності та для пар вертикальних кутів і рівність за умовою відмічених пар відрізків дає можливість зробити висновок та про рівність прямокутних трикутників (за гіпотенузою та гострим кутом). З цього випливає, що та , тобто . Отриманий чотирикутник є чотирикутником Саккері. В цьому чотирикутнику , тобто . В трикутнику : , тобто , звідки .

З того, що та випливає, що . Таким чином, .

Задача 2. Довести справедливість твердження в геометрії Лобачевского: «Кут, під яким діаметр кола видно з будь-якої точки цього кола, відмінної від кінців діаметра, – гострий»

Доведення. Розглянемо коло з центром в точці та діаметром . Візьмемо на колі довільну точку та розглянемо утворений трикутник . З того, що як радіуси випливає, що та . Сума кутів трикутника в геометрії Лобачевского менша , тому

,

Або . Отже, , тобто він гострий. Доведено.

Задача 3. Довести справедливість твердження в геометрії Лобачевского: «В прямокутному трикутнику величина хоча б одного з його кутів менше ».

Доведення. В прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює . Якщо припустити, що кожен з останніх двох кутів не менший за , то їх сума буде більшою за . Ми отримали суперечність, оскільки в геометрії Лобачевского сума внутрішніх кутів трикутника менша за .

Задача 4. Довести твердження: «Якщо три кути одного трикутника дорівнюють відповідно трьом кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні» (четверта ознака рівності трикутників.)

Доведення. Розглянемо трикутники та , в яких , , . Потрібно довести рівність відповідних сторін цих трикутників.

Припустимо, що . Існує така точка , що . Через точку проведемо півпряму так, що . За теоремою 46 пряма паралельна стороні . За аксіомою Паша промінь перетинає відрізок , позначимо точку перетину . Трикутники і конгруентні (за теоремою 15). Ми довели, що трикутники і подібні та не конгруентні. Але твердження про існування подібних не конгруентних трикутників є еквівалентом п’ятого постулату Евкліда. Отже, отримали протиріччя, а значить , звідки за теоремою 15 можемо зробити висновок про рівність даних трикутників.

Задача 5. Довести, що існують такі трикутники, навколо яких не можна описати коло.

Д оведення. На площині Лобачевського проведемо прямі . Через точку проведемо пряму , яка з прямою утворює кут – кут паралельності . Візьмемо точку , побудуємо точку , яка симетрична точці відносно прямої та точку , яка симетрична точці відносно прямої . Точки не належать одній прямій, оскільки в противному випадку , що неможливо для кута паралельності. Розглянемо трикутник . В ньому пряма є серединним перпендикуляром до сторони , пряма є серединним перпендикуляром до сторони та за умовою, тому навколо цього трикутника не можна описати коло.

Задача 5. Довести, що ортогональна проекція однієї зі сторін гострого кута на іншу сторону є півінтервалом.

Доведення. Розглянемо гострий кут . Відомо, що яким би не був гострий кут, завжди існує єдина пряма, перпендикулярна до сторони цього кута і паралельна стороні . Отже, точка С не є ортогональною проекцією жодної з точок прямої на сторону кута, а кожна з точок півінтервала буде ортогональною проекцією деякої точки сторони .