Тема 6. Інші неевклідові геометрії.

Мета: Ознайомитись з елементами сферичної геометрії, еліптичної геометрії Рімана, псевдоевклідової геометрії.

План:

1. Елементи сферичної геометрії. Точки і прямі в сферичній геометрії. Відстань між точками і кут між прямими.

2. Сферичні двокутники та трикутники. Сферичний надлишок. Сферична тригонометрія.

3. Аксіоматична теорія псевдоевклідової геометрії. Класифікація прямих і площин псевдоевклідового простору. Основні координатні формули.

4. Сфери псевдоевклідового простору. Сферична тригонометрія.

5. Інтерпретація планіметрії Лобачевського на сфері уявного радіусу псевдоевклідового простору. Евклідова геометрія як граничний випадок геометрії Лобачевського.

Ключові поняття: точка, пряма, сферичний двокутник, сферичний трикутник, теореми косинусів, ізотропні об’єкти, сфера уявного радіуса.

1. Елементи сферичної геометрії. Точки і прямі в сферичній геометрії. Відстань між точками і кут між прямими.

Нехай в евклідовому просторі задано сферу радіусу . В геометрії на сфері, як і в геометрії на евклідовій площині, основними об’єктами є точки і прямі. «Точкою» називається будь-яка точка сфери, «прямою» – будь-яке велике коло сфери.

Означення. Нехай – деяка пряма в сферичній геометрії. Кінці діаметра сфери, перпендикулярного евклідовій площині, яка містить , називаються полюсами цієї прямої. Кожна точка прямої називається полярно спряженою з кожним із її полюсів.

Через будь-які дві не діаметрально протилежні точки проходить єдина пряма сферичної геометрії.

Означення. Відстанню між точками називається довжина меншої з двох дуг великого кола, що проходить через ці точки.

З означення випливає обмеженість сферичної площини – відстань між будь-якими двома точками не перевищує числа .

Крім основних об’єктів в сферичній геометрії можна розглядати і інші фігури. Наприклад, Коло на сфері, яке не є великим, задовольняє означення кола з евклідової геометрії.

Означення. Кутом між двома прямими в сферичній геометрії називається двогранний кут, який утворюють евклідові площини, що містять ці прямі.

Засобами евклідової геометрії отримується формула

де точки – полярно спряжені з точкою перетину прямих.

2. Сферичні двокутники та трикутники. Сферичний надлишок. Сферична тригонометрія.

Будь-які дві прямі сферичної геометрії розбивають сферу на чотири області, кожна з яких називається сферичним двокутником. Двокутник є аналогом многокутника, а саме, це многокутник, який має дві сторони. Таких фігур на евклідовій площині не існує. Двокутник повністю визначається кутом між прямими (відрізки яких є його сторонами).

Має місце наступна формула для площі двокутника

де – вершини двокутника.

Три попарно різні великі кола сфери розбивають її на 8 областей, кожна з яких називається сферичним трикутникам. Будемо розглядати лише ті з них, які мають менші за довжини сторін і менші за величини кутів (ейлерові трикутники).

Нехай – ейлерів. Якщо – центр сфери, то геометрію тригранного кута доцільно використати для вивчення геометрії сферичного трикутника. Наведемо деякі формули цієї геометрії.

Позначимо . Пари точок , , - діаметрально протилежні. Між площами сфери, сферичного трикутника і сферичних двокутників можна встановити такий зв'язок: